Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z+1−3i=32 và z+2i2 là số thuần ảo? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Giả sử z=x+yi x,y∈ℝ. Ta có: z+1−3i=32⇔x+12+y−32=18 1. Xét w=z+2i2=x+y+2i2=x2−y+22⏟a+2xy+2⏟bi.Theo giả thiết: w thuần ảo ⇒x2−y+22=0⇔x=y+2x=−y+2.Trường hợp 1: x=y+2, thay vào (1) ta được: 2y2=0⇔y=0⇒x=2⇒z1=2.Trường hợp 2: x=−y+2, thay vào (1) ta được: 2y2−4y−8=0⇔y=1+5y=1−5⇒z2=−3−5+1+5i, z3=−3+5+1−5i. Vậy có 3 số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn đáp án C

Câu hỏi:

08/12/2022 906

Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn $|z + 1 - 3 i| = 3 \sqrt{2}$ và ${(z + 2 i)}^{2}$ là số thuần ảo?

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Trắc nghiệm Toán 12 : Số phức có đáp án (Mới nhất) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Giả sử

z = x + y i (x, y \in ℝ)

. Ta có:

|z + 1 - 3 i| = 3 \sqrt{2} \Leftrightarrow {(x + 1)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 18 (1)

Xét

w = {(z + 2 i)}^{2} = {[x + (y + 2) i]}^{2} = \underset{a}{\underset{⏟}{x^{2} - {(y + 2)}^{2}}} + \underset{b}{\underset{⏟}{2 x (y + 2)}} i

.
Theo giả thiết: w thuần ảo

\Rightarrow x^{2} - {(y + 2)}^{2} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = y + 2 \\ x = - (y + 2) \end{array}

.
Trường hợp 1:

x = y + 2

, thay vào (1) ta được:

2 y^{2} = 0 \Leftrightarrow y = 0 \Rightarrow x = 2 \Rightarrow z_{1} = 2

.
Trường hợp 2:

x = - (y + 2)

, thay vào (1) ta được:

2 y^{2} - 4 y - 8 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} y = 1 + \sqrt{5} \\ y = 1 - \sqrt{5} \end{array}

\Rightarrow z_{2} = - 3 - \sqrt{5} + (1 + \sqrt{5}) i, z_{3} = - 3 + \sqrt{5} + (1 - \sqrt{5}) i

.
Vậy có 3 số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn đáp án C

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Số phức $z = a + b i$ ( với a, b là số nguyên) thỏa mãn $(1 - 3 i) z$ là số thực và $|\bar{z} - 2 + 5 i| = 1$ . Khi đó là

A. 9.

B. 8.

C. 6.

D. 7.

Lời giải

Xét số phức

w = (1 - 3 i) z = (1 - 3 i) (a + b i) = a + 3 b + (b - 3 a) i

.
Theo giả thiết w là số thực nên

b - 3 a = 0 \Rightarrow b = 3 a (1)

.
Ta lại có:

|\bar{z} - 2 + 5 i| = 1 \Leftrightarrow |a - 2 + (5 - b) i| = 1 \Leftrightarrow {(a - 2)}^{2} + {(5 - b)}^{2} = 1 (2)

.
Thế (1) vào (2) ta có:

{(a - 2)}^{2} + {(5 - 3 a)}^{2} = 1 \Leftrightarrow 10 a^{2} - 34 a + 28 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} a = 2 \Rightarrow b = 6 \\ a = \frac{7}{5} (l o a ï i) \end{array}

.
Vậy

a + b = 2 + 6 = 8

Chọn đáp án B

Câu 2

Trong tất cả các số phức z thỏa mãn điều kiện $|z + 1| = |\frac{z + \bar{z}}{2} + 3|$ , gọi số phức $z = x + y i$ là số phức có mô-đun nhỏ nhất. Tính $S = 2022 x + 2023 y + 2024$ .

A. 2024.

B. -2020.

C. 2023.

D. -2022

Lời giải

Gọi

z = x + y i (x, y \in ℝ)

. Theo giả thiết:

|x + y i + 1| = |\frac{x + y i + x - y i}{2} + 3| \Leftrightarrow {(x + 1)}^{2} + y^{2} = {(x + 3)}^{2}

2 x + 1 + y^{2} = 6 x + 9 \Leftrightarrow y^{2} = 4 x + 8

(1).
Mô-đun của z là:

|z| = \sqrt{x^{2} + y^{2}} \overset{(1)}{=} \sqrt{x^{2} + 4 x + 8} = \sqrt{{(x + 2)}^{2} + 4} \geq \sqrt{4} = 2

.
Do vậy

{|z|}_{\min} = 2

; khi đó:

x = - 2, y = 0

. Do vậy

S = 2022 x + 2023 y + 2024 = - 2020

Chọn đáp án B

Câu 3

Cho số phức $z = m i$ , $ (m \in ℝ)$ . Tìm phần ảo của số phức $\frac{1}{z}$ ?

- \frac{1}{m}

\frac{1}{m}

- \frac{1}{m} i

\frac{1}{m} i

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Số phức liên hợp của số phức $z = i (1 - 2 i)$ có điểm biểu diễn là điểm nào dưới đây?

E (2; - 1)

B (- 1; 2)

A (1; 2)

F (- 2; 1)

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Số phức z nào sau đây thỏa $|z| = \sqrt{5}$ và z là số thuần ảo?

z = \sqrt{5}

z = \sqrt{2} + \sqrt{3} i

z = 5 i

z = - \sqrt{5} i

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Trong các số phức: ${(1 + i)}^{3}, {(1 + i)}^{4}, {(1 + i)}^{5}, {(1 + i)}^{6}$ số phức nào là số phức thuần ảo?

{(1 + i)}^{3}

{(1 + i)}^{4}

{(1 + i)}^{5}

{(1 + i)}^{6}

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Cho số phức $z = a + b i (a, b \in ℝ)$ . Khẳng định nào sau đây sai?

|z| = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

\bar{z} = a - b i

z^{2}

là số thực.

z . \bar{z}

là số thực.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z+1−3i=32 và z+2i2 là số thuần ảo?

Số phức z=a+bi ( với a, b là số nguyên) thỏa mãn 1−3iz là số thực và z¯−2+5i=1. Khi đó là

Trong tất cả các số phức z thỏa mãn điều kiện z+1=z+z¯2+3, gọi số phức z=x+yi là số phức có mô-đun nhỏ nhất. Tính S=2022x+2023y+2024.

Cho số phức z=mi, ​(m∈ℝ). Tìm phần ảo của số phức 1z?

Số phức liên hợp của số phức z=i1−2i có điểm biểu diễn là điểm nào dưới đây?

Số phức z nào sau đây thỏa z=5 và z là số thuần ảo?

Trong các số phức: 1+i3, 1+i4, 1+i5, 1+i6 số phức nào là số phức thuần ảo?

Cho số phức z=a+bi a,b∈ℝ. Khẳng định nào sau đây sai?

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn $|z + 1 - 3 i| = 3 \sqrt{2}$ và ${(z + 2 i)}^{2}$ là số thuần ảo?

Số phức $z = a + b i$ ( với a, b là số nguyên) thỏa mãn $(1 - 3 i) z$ là số thực và $|\bar{z} - 2 + 5 i| = 1$ . Khi đó là

Trong tất cả các số phức z thỏa mãn điều kiện $|z + 1| = |\frac{z + \bar{z}}{2} + 3|$ , gọi số phức $z = x + y i$ là số phức có mô-đun nhỏ nhất. Tính $S = 2022 x + 2023 y + 2024$ .

Cho số phức $z = m i$ , $ (m \in ℝ)$ . Tìm phần ảo của số phức $\frac{1}{z}$ ?

Số phức liên hợp của số phức $z = i (1 - 2 i)$ có điểm biểu diễn là điểm nào dưới đây?

Số phức z nào sau đây thỏa $|z| = \sqrt{5}$ và z là số thuần ảo?

Trong các số phức: ${(1 + i)}^{3}, {(1 + i)}^{4}, {(1 + i)}^{5}, {(1 + i)}^{6}$ số phức nào là số phức thuần ảo?

Cho số phức $z = a + b i (a, b \in ℝ)$ . Khẳng định nào sau đây sai?