Cho số phức z thõa mãn $\left|z-1+i\right|=2$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P={\left|z+2-i\right|}^2+{\left|z-2-3i\right|}^2$.

Lưu ý: Giả sử z có điểm biểu diễn là M, khi đó:
1) $\left|z-\left(a+bi\right)\right|=MN$ với $N\left(a;b\right)$.
2) $\left|z-\left(a+bi\right)\right|=c$ (với $c>0$) là phương trình đường tròn tâm $I\left(a;b\right),$ bán kính $r=c$.
3) Xét tam giác MAB với I là trung điểm AB, ta có:

$\begin{array}{l}M{A}^2+M{B}^2={\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}\right)}^2+{\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}\right)}^2\\ =2M{I}^2+2\overrightarrow{MI}\left(\underset{=\overrightarrow{0}}{\underbrace{\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}}}\right)+I{A}^2+I{B}^2\\ =2M{I}^2+{\left(\frac{AB}{2}\right)}^2+{\left(\frac{AB}{2}\right)}^2=2M{I}^2+\frac{A{B}^2}{2}.\end{array}$
4) Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
Với hai cặp số (a; x), (b; y) ta có: $\boxed{\left|ax+by\right|\le \sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)}}$.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\frac{a}{x}=\frac{b}{y}\iff \frac{a}{b}=\frac{x}{y}$ (điều kiện mẫu khác 0).

 Cách giải 1: Gọi M(x; y) là điểm biểu diễn cho số phức z. Gọi $I\left(1;-1\right)$, $A\left(-2;1\right)$, $B\left(2;3\right)$lần lượt là điểm biểu diễn cho các số phức $1-i$; $-2+i$; $2+3i$. Khi đó, ta có:
$\left|z-1+i\right|=2\iff \left|\underset{M}{\underbrace{z}}-\underset{I}{\underbrace{\left(1-i\right)}}\right|=2\iff MI=2$; nghĩa là M thuộc đường tròn (C) có tâm $I\left(1;-1\right)$, $R=2$.
Ta có $P={\left|z+2-i\right|}^2+{\left|z-2-3i\right|}^2={\left|\underset{M}{\underbrace{z}}-\underset{A}{\underbrace{\left(-2+i\right)}}\right|}^2+{\left|\underset{M}{\underbrace{z}}-\underset{B}{\underbrace{\left(2+3i\right)}}\right|}^2$$=M{A}^2+M{B}^2$. (Xem mục Lưu ý).
Gọi $E\left(0;2\right)$ là trung điểm của AB, ta có: $P=2M{E}^2+\frac{A{B}^2}{2}$. (Xem mục Lưu ý).
Ta thấy AB không đổi, do đó có giá trị lớn nhất khi và chỉ khi có giá trị lớn nhất.
Nhận thấy: $IE=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}>2=R$ nên nên điểm E nằm ngoài đường tròn (C).
Ta có: ${\left(ME\right)}_{\max }=IE+R=2+\sqrt{10}$.
Vậy $P_{\max }=2{\left({\left(ME\right)}_{\max }\right)}^2+\frac{A{B}^2}{2}=2{\left(2+\sqrt{10}\right)}^2+10=38+8\sqrt{10}$.
Cách giải 2: Giả sử $z=x+yi$ ($x,y\in ℝ$). $M\left(x;y\right)$ là điểm biểu diễn của z.
Từ giả thiết: $\left|z-1+i\right|=2$, suy ra $M\in \left(C_1\right)$ có tâm $I_1\left(1;-1\right)$ và bán kính $R_1=2$.
Khi đó: $\left|z-1+i\right|=2\iff \boxed{{\left(x-1\right)}^2+{\left(y+1\right)}^2=4\iff x^2+y^2=2x-2y+2}$.
Ta có: $P={\left|z+2-i\right|}^2+{\left|z-2-3i\right|}^2={\left(x+2\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2+{\left(x-2\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2$.
Suy ra $P=2x^2+2y^2-8y+18\stackrel{\left(1\right)}{=}2\left(2x-2y+2\right)-8y+18=4x-12y+22=\boxed{4\left(x-1\right)-12\left(y+1\right)+38}$.
Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
$\left|4\left(x-1\right)-12\left(y+1\right)\right|\le \sqrt{\left[4^2+{\left(-12\right)}^2\right]\left[\underset{=4}{\underbrace{{\left(x-1\right)}^2+{\left(y+1\right)}^2}}\right]}=8\sqrt{10}$$\iff -8\sqrt{10}\le 4\left(x-1\right)-12\left(y+1\right)\le 8\sqrt{10}\iff -8\sqrt{10}+38\le P\le 8\sqrt{10}+38.$.
Do đó $P_{\max }=38+8\sqrt{10}$.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\left\{\begin{array}{l}\frac{x-1}{y+1}=\frac{-4}{12}\\ 4x-12y+22=38+8\sqrt{10}\end{array}\right.$.
(Học sinh có thể giải tìm x, y bằng phương pháp thế hoặc dùng máy tính bỏ túi).

Chọn đáp án B