Cho số phức z thỏa mãn $\left|\frac{z-1}{z+3i}\right|=\frac{1}{\sqrt{2}}$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\left|z+i\right|+2\left|\overline{z}-4+7i\right|$.

Gọi với $z=x+yi$; $x,y\in ℝ M\left(x;y\right),M^{\text{'}}\left(x;-y\right)$ lần lượt là các điểm biểu diễn số phức $z,\overline{z}$.
Ta có: $\left|\frac{z-1}{z+3i}\right|=\frac{1}{\sqrt{2}}\iff \sqrt{2}\left|z-1\right|=\left|z+3i\right|\iff \sqrt{2}\left|\left(x-1\right)+yi\right|=\left|x+\left(y+3\right)i\right|$.

$\iff \sqrt{2}\sqrt{{\left(x-1\right)}^2+y^2}=\sqrt{x^2+{\left(y+3\right)}^2}\iff 2x^2-4x+2+2y^2=x^2+y^2+6y+9$

$\iff x^2+y^2-4x-6y-7=0\iff \boxed{{\left(x-2\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2=20}$
Như vậy, tập hợp điểm M là đường tròn $\left(C\right)$ tâm I(2; 3) và bán kính $R=2\sqrt{5}$.

$P=\left|z+i\right|+2\left|\overline{z}-4+7i\right|=\left|\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OA}\right|+2\left|\overrightarrow{O{M}^{\text{'}}}-\overrightarrow{OB}\right|$ với $A\left(0;-1\right)$, $B\left(4;-7\right)$. Suy ra $\boxed{P=AM+2B{M}^{\text{'}}}$.
Vì M' đối xứng với M qua Ox nên ta cần gọi điểm $B^{\text{'}}\left(4;7\right)$ đối xứng với B qua Ox, khi đó $M^{\text{'}}B=M{B}^{\text{'}}$. Do đó: $\boxed{P=AM+2M{B}^{\text{'}}}$.
Ta lại có $A\left(0;-1\right)$, $B^{\text{'}}\left(4;7\right)$ thuộc đường tròn (C) và $A{B}^{\text{'}}=4\sqrt{5}=2R$, vì vậy AB' là đường kính của đường tròn (C)$\Rightarrow M{A}^2+M{B^{\text{'}}}^2=A{B^{\text{'}}}^2=80$.

Do đó: $=\underset{Cauchy-Shwart}{\underbrace{MA+2M{B}^{\text{'}}\le \sqrt{\left(1^2+2^2\right)\left(\underset{=80}{\underbrace{M{A}^2+M{B^{\text{'}}}^2}}\right)}}}=20$.
Dấu $"="$ xảy ra khi $\left\{\begin{array}{l}M{B}^{\text{'}}=2MA\\ M{A}^2+M{B^{\text{'}}}^2=80\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}MA=4\\ M{B}^{\text{'}}=8\end{array}\right.$. Vậy $\max P=20$.

Vậy chọn đáp án B