Cho số phức z thỏa mãn z−1z+3i=12. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=z+i+2z¯−4+7i. A. 8. B. 20. C. 25. D. 45.

Câu hỏi:

10/12/2022 201

Cho số phức z thỏa mãn $|\frac{z - 1}{z + 3 i}| = \frac{1}{\sqrt{2}}$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = |z + i| + 2 |\bar{z} - 4 + 7 i|$ .

A. 8.

B. 20.

Đáp án chính xác

C.

2 \sqrt{5}

.

D.

4 \sqrt{5}

.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Trắc nghiệm Toán 12 : Số phức có đáp án (Mới nhất) !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Gọi với $z = x + y i$ ; $x, y \in ℝ M (x; y), M^{'} (x; - y)$ lần lượt là các điểm biểu diễn số phức $z, \bar{z}$ .
Ta có: $|\frac{z - 1}{z + 3 i}| = \frac{1}{\sqrt{2}} \Leftrightarrow \sqrt{2} |z - 1| = |z + 3 i| \Leftrightarrow \sqrt{2} |(x - 1) + y i| = |x + (y + 3) i|$ .

$\Leftrightarrow \sqrt{2} \sqrt{{(x - 1)}^{2} + y^{2}} = \sqrt{x^{2} + {(y + 3)}^{2}} \Leftrightarrow 2 x^{2} - 4 x + 2 + 2 y^{2} = x^{2} + y^{2} + 6 y + 9$

$\Leftrightarrow x^{2} + y^{2} - 4 x - 6 y - 7 = 0 \Leftrightarrow {(x - 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 20$
Như vậy, tập hợp điểm M là đường tròn $(C)$ tâm I(2; 3) và bán kính $R = 2 \sqrt{5}$ .

$P = |z + i| + 2 |\bar{z} - 4 + 7 i| = |\vec{O M} - \vec{O A}| + 2 |\vec{O M^{'}} - \vec{O B}|$ với $A (0; - 1)$ , $B (4; - 7)$ . Suy ra $P = A M + 2 B M^{'}$ .
Vì M' đối xứng với M qua Ox nên ta cần gọi điểm $B^{'} (4; 7)$ đối xứng với B qua Ox, khi đó $M^{'} B = M B^{'}$ . Do đó: $P = A M + 2 M B^{'}$ .
Ta lại có $A (0; - 1)$ , $B^{'} (4; 7)$ thuộc đường tròn (C) và $A B^{'} = 4 \sqrt{5} = 2 R$ , vì vậy AB' là đường kính của đường tròn (C) $\Rightarrow M A^{2} + M {B^{'}}^{2} = A {B^{'}}^{2} = 80$ .

Do đó: $= \underset{C a u c h y - S h w a r t}{\underset{⏟}{M A + 2 M B^{'} \leq \sqrt{(1^{2} + 2^{2}) (\underset{= 80}{\underset{⏟}{M A^{2} + M {B^{'}}^{2}}})}}} = 20$ .
Dấu $" = "$ xảy ra khi $\{\begin{cases} M B^{'} = 2 M A \\ M A^{2} + M {B^{'}}^{2} = 80 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} M A = 4 \\ M B^{'} = 8 \end{cases}$ . Vậy $\max P = 20$ .

Vậy chọn đáp án B

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

Câu 1:

Số phức $z = a + b i$ ( với a, b là số nguyên) thỏa mãn $(1 - 3 i) z$ là số thực và $|\bar{z} - 2 + 5 i| = 1$ . Khi đó là

A. 9.

B. 8.

C. 6.

D. 7.

Xem đáp án » 08/12/2022 5,808

Câu 2:

Trong tất cả các số phức z thỏa mãn điều kiện $|z + 1| = |\frac{z + \bar{z}}{2} + 3|$ , gọi số phức $z = x + y i$ là số phức có mô-đun nhỏ nhất. Tính $S = 2022 x + 2023 y + 2024$ .

A. 2024.

B. -2020.

C. 2023.

D. -2022

Xem đáp án » 08/12/2022 2,806

Câu 3:

Cho số phức $z = m i$ , $ (m \in ℝ)$ . Tìm phần ảo của số phức $\frac{1}{z}$ ?

A.

- \frac{1}{m}

.

B.

\frac{1}{m}

.

C.

- \frac{1}{m} i

.

D.

\frac{1}{m} i

.

Xem đáp án » 08/12/2022 2,556

Câu 4:

Số phức liên hợp của số phức $z = i (1 - 2 i)$ có điểm biểu diễn là điểm nào dưới đây?

A.

E (2; - 1)

.

B.

B (- 1; 2)

.

C.

A (1; 2)

.

D.

F (- 2; 1)

.

Xem đáp án » 07/12/2022 2,527

Câu 5:

Số phức z nào sau đây thỏa $|z| = \sqrt{5}$ và z là số thuần ảo?

A.

z = \sqrt{5}

.

B.

z = \sqrt{2} + \sqrt{3} i

.

C.

z = 5 i

.

D.

z = - \sqrt{5} i

.

Xem đáp án » 08/12/2022 2,430

Câu 6:

Trong các số phức: ${(1 + i)}^{3}, {(1 + i)}^{4}, {(1 + i)}^{5}, {(1 + i)}^{6}$ số phức nào là số phức thuần ảo?

A.

{(1 + i)}^{3}

.

B.

{(1 + i)}^{4}

.

C.

{(1 + i)}^{5}

.

D.

{(1 + i)}^{6}

.

Xem đáp án » 08/12/2022 1,851

Câu 7:

Cho số phức $z = a + b i (a, b \in ℝ)$ . Khẳng định nào sau đây sai?

A.

|z| = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

.

B.

\bar{z} = a - b i

.

C.

z^{2}

là số thực.

D.

z . \bar{z}

là số thực.

Xem đáp án » 07/12/2022 1,528

Xem thêm các câu hỏi khác »

Cho số phức z thỏa mãn $|\frac{z - 1}{z + 3 i}| = \frac{1}{\sqrt{2}}$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = |z + i| + 2 |\bar{z} - 4 + 7 i|$ .

Nhà sách VIETJACK:

Số phức $z = a + b i$ ( với a, b là số nguyên) thỏa mãn $(1 - 3 i) z$ là số thực và $|\bar{z} - 2 + 5 i| = 1$ . Khi đó là

Trong tất cả các số phức z thỏa mãn điều kiện $|z + 1| = |\frac{z + \bar{z}}{2} + 3|$ , gọi số phức $z = x + y i$ là số phức có mô-đun nhỏ nhất. Tính $S = 2022 x + 2023 y + 2024$ .

Cho số phức $z = m i$ , $ (m \in ℝ)$ . Tìm phần ảo của số phức $\frac{1}{z}$ ?

Số phức liên hợp của số phức $z = i (1 - 2 i)$ có điểm biểu diễn là điểm nào dưới đây?

Số phức z nào sau đây thỏa $|z| = \sqrt{5}$ và z là số thuần ảo?

Trong các số phức: ${(1 + i)}^{3}, {(1 + i)}^{4}, {(1 + i)}^{5}, {(1 + i)}^{6}$ số phức nào là số phức thuần ảo?

Cho số phức $z = a + b i (a, b \in ℝ)$ . Khẳng định nào sau đây sai?

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

Cho số phức z thỏa mãn z−1z+3i=12. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=z+i+2z¯−4+7i.

Nhà sách VIETJACK:

Số phức z=a+bi ( với a, b là số nguyên) thỏa mãn 1−3iz là số thực và z¯−2+5i=1. Khi đó là

Trong tất cả các số phức z thỏa mãn điều kiện z+1=z+z¯2+3, gọi số phức z=x+yi là số phức có mô-đun nhỏ nhất. Tính S=2022x+2023y+2024.

Cho số phức z=mi, ​(m∈ℝ). Tìm phần ảo của số phức 1z?

Số phức liên hợp của số phức z=i1−2i có điểm biểu diễn là điểm nào dưới đây?

Số phức z nào sau đây thỏa z=5 và z là số thuần ảo?

Trong các số phức: 1+i3, 1+i4, 1+i5, 1+i6 số phức nào là số phức thuần ảo?

Cho số phức z=a+bi a,b∈ℝ. Khẳng định nào sau đây sai?

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho số phức z thỏa mãn $|\frac{z - 1}{z + 3 i}| = \frac{1}{\sqrt{2}}$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = |z + i| + 2 |\bar{z} - 4 + 7 i|$ .

Số phức $z = a + b i$ ( với a, b là số nguyên) thỏa mãn $(1 - 3 i) z$ là số thực và $|\bar{z} - 2 + 5 i| = 1$ . Khi đó là

Trong tất cả các số phức z thỏa mãn điều kiện $|z + 1| = |\frac{z + \bar{z}}{2} + 3|$ , gọi số phức $z = x + y i$ là số phức có mô-đun nhỏ nhất. Tính $S = 2022 x + 2023 y + 2024$ .

Cho số phức $z = m i$ , $ (m \in ℝ)$ . Tìm phần ảo của số phức $\frac{1}{z}$ ?

Số phức liên hợp của số phức $z = i (1 - 2 i)$ có điểm biểu diễn là điểm nào dưới đây?

Số phức z nào sau đây thỏa $|z| = \sqrt{5}$ và z là số thuần ảo?

Trong các số phức: ${(1 + i)}^{3}, {(1 + i)}^{4}, {(1 + i)}^{5}, {(1 + i)}^{6}$ số phức nào là số phức thuần ảo?

Cho số phức $z = a + b i (a, b \in ℝ)$ . Khẳng định nào sau đây sai?