Trong các số phức thỏa mãn điều kiện z+3i=z+2−i. Tìm số phức có môđun nhỏ nhất? A. z=1−2i. B. z=−15+25i. C. z=15−25i. D. z=−1+2i.

Câu hỏi:

11/12/2022 571

Trong các số phức thỏa mãn điều kiện $|z + 3 i| = |z + 2 - i| .$ Tìm số phức có môđun nhỏ nhất?

z = 1 - 2 i

z = - \frac{1}{5} + \frac{2}{5} i

z = \frac{1}{5} - \frac{2}{5} i

z = - 1 + 2 i

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Trắc nghiệm Toán 12 : Min - Max số phức có đáp án (Mới nhất) !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Chọn C.
Cách 1: Phương pháp tự luận
Giả sử

z = x + y i (x, y \in ℝ)

|z + 3 i| = |z + 2 - i| \Leftrightarrow |x + (y + 3) i| = |(x + 2) + (y - 1) i| \Leftrightarrow x^{2} + {(y + 3)}^{2} = {(x + 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} \Leftrightarrow 6 y + 9 = 4 x + 4 - 2 y + 1 \Leftrightarrow 4 x - 8 y - 4 = 0 \Leftrightarrow x - 2 y - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 2 y + 1 |z| = \sqrt{x^{2} + y^{2}} = \sqrt{{(2 y + 1)}^{2} + y^{2}} = \sqrt{5 y^{2} + 4 y + 1} = \sqrt{5 {(y + \frac{2}{5})}^{2} + \frac{1}{5}} \geq \frac{\sqrt{5}}{5}

Suy ra

{|z|}_{\min} = \frac{\sqrt{5}}{5}

khi

y = - \frac{2}{5} \Rightarrow x = \frac{1}{5}

Vậy

z = \frac{1}{5} - \frac{2}{5} i .

Cách 2: Phương pháp trắc nghiệm
Giả sử

z = x + y i (x, y \in ℝ)

|z + 3 i| = |z + 2 - i| \Leftrightarrow |x + (y + 3) i| = |(x + 2) + (y - 1) i| \Leftrightarrow x^{2} + {(y + 3)}^{2} = {(x + 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} \Leftrightarrow 6 y + 9 = 4 x + 4 - 2 y + 1 \Leftrightarrow 4 x - 8 y - 4 = 0 \Leftrightarrow x - 2 y - 1 = 0

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa điều kiện

|z + 3 i| = |z + 2 - i|

là đường thẳng

d : x - 2 y - 1 = 0

.
Phương án A:

z = 1 - 2 i

có điểm biểu diễn

(1; - 2) \notin d

nên loại A.
Phương án B:

z = - \frac{1}{5} + \frac{2}{5} i

có điểm biểu diễn

(- \frac{1}{5}; \frac{2}{5}) \notin d

nên loại B.
Phương án D:

z = - 1 + 2 i

có điểm biểu diễn

(- 1; 2) \notin d

nên loại B.
Phương án C:

z = \frac{1}{5} - \frac{2}{5} i

có điểm biểu diễn

(\frac{1}{5}; - \frac{2}{5}) \in d

(Trong trường hợp có nhiều số phức thuộc đường thẳng thì ta tiếp tục so sánh modun, và nên thay luôn z vào dữ kiện ban đầu chứ không nên biến đổi)

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

ĐẶC QUYỀN VIP

Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn

Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.

Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
Đăng ký ngay

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho z₁, z₂ là hai số phức thỏa mãn $|2 z - i| = |2 + i z|$ , biết $|z_{1} - z_{2}| = 1$ . Tính giá trị của biểu thức $P = |z_{1} + z_{2}|$

P = \frac{\sqrt{3}}{2}

P = \sqrt{2}

P = \frac{\sqrt{2}}{2}

P = \sqrt{3}

Lời giải

Chọn D.
+ Đặt

z = x + y i

x, y \in ℝ

ta có

|2 z - i| = |2 + i z| \Leftrightarrow |2 x + (2 y - 1) i| = |(2 - y) + x i|

\sqrt{4 x^{2} + {(2 y - 1)}^{2}} = \sqrt{{(2 - y)}^{2} + x^{2}} \Leftrightarrow 4 x^{2} + 4 y^{2} - 4 y + 1 = 4 - 4 y + y^{2} + x^{2} \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} = 1 \Rightarrow |z| = 1 \Rightarrow |z_{1}| = |z_{2}| = 1

+ Sử dụng công thức:

\forall z_{1}, z_{2} \in ℂ

ta có

{|z_{1} + z_{2}|}^{2} + {|z_{1} - z_{2}|}^{2} = 2 ({|z_{1}|}^{2} + {|z_{2}|}^{2})

Suy ra

P = \sqrt{3}

Câu 2

Với hai số phức z₁ và z₂ thỏa mãn $z_{1} + z_{2} = 8 + 6 i$ và $|z_{1} - z_{2}| = 2$ . Tìm giá trị lớn nhất của $P = |z_{1}| + |z_{2}|$ .

P = 5 + 3 \sqrt{5} .

P = 2 \sqrt{26} .

P = 4 \sqrt{6} .

P = 34 + 3 \sqrt{2} .

Lời giải

Bổ đề. Cho hai số phức z₁ và z₂, ta luôn có

{|z_{1} + z_{2}|}^{2} + {|z_{1} - z_{2}|}^{2} = 2 ({|z_{1}|}^{2} + {|z_{2}|}^{2}) (*)

.
Chứng minh. Sử dụng công thức

{|z_{1} + z_{2}|}^{2} = (z_{1} + z_{2}) (\bar{z_{1}} + \bar{z_{2}})

và

z . \bar{z} = {|z|}^{2}

. Khi đó

\begin{matrix} {|z_{1} + z_{2}|}^{2} + {|z_{1} - z_{2}|}^{2} = (z_{1} + z_{2}) (\bar{z_{1}} + \bar{z_{2}}) + (z_{1} - z_{2}) (\bar{z_{1}} - \bar{z_{2}}) \\ = z_{1} . \bar{z_{1}} + z_{1} . \bar{z_{2}} + \bar{z_{1}} . z_{2} + z_{2} . \bar{z_{2}} + z_{1} . \bar{z_{1}} - z_{1} . \bar{z_{2}} - \bar{z_{1}} . z_{2} + z_{2} . \bar{z_{2}} \\ = 2 (z_{1} . \bar{z_{1}} + z_{2} . \bar{z_{2}}) = 2 ({|z_{1}|}^{2} + {|z_{2}|}^{2}) \to đ p c m . \end{matrix}

Áp dụng (*), ta được

{|z_{1} + z_{2}|}^{2} + {|z_{1} - z_{2}|}^{2} = 4 \Rightarrow {|z_{1} - z_{2}|}^{2} = 4 - {(\sqrt{3})}^{2} = 1 \Rightarrow |z_{1} - z_{2}| = 1.

Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki,

P = |z_{1}| + |z_{2}| \leq \sqrt{2 ({|z_{1}|}^{2} + {|z_{2}|}^{2})} = 2 \sqrt{26} .

ta được Chọn B.

Câu 3

Cho hai số phức $z_{1}, z_{2}$ thỏa mãn điều kiện $2 |\bar{z_{1}} + i| = |\bar{z_{1}} - z_{1} - 2 i|$ và $|z_{2} - i - 10| = 1$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $|z_{1} - z_{2}|$ ?

\sqrt{10} + 1

3 \sqrt{5} - 1

\sqrt{\sqrt{101} + 1}

\sqrt{\sqrt{101} - 1}

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho hai số phức $z, ω$ thỏa mãn $|z - 1| = |z + 3 - 2 i|$ ; $ω = z + m + i$ với $m \in ℝ$ là tham số. Giá trị của m để ta luôn có $|ω| \geq 2 \sqrt{5}$ là:

[\begin{array}{l} m \geq 7 \\ m \leq 3 \end{array}

[\begin{array}{l} m \geq 7 \\ m \leq - 3 \end{array}

- 3 \leq m < 7

3 \leq m \leq 7

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho số phức z thỏa mãn $|z| = 1$ . Tìm giá trị lớn nhất $M_{\max}$ và giá trị nhỏ nhất của $M_{\min}$ biểu thức $M = |z^{2} + z + 1| + |z^{3} + 1| .$

M_{\max} = 5; M_{\min} = 1.

M_{\max} = 5; M_{\min} = 2.

M_{\max} = 4; M_{\min} = 1.

M_{\max} = 4; M_{\min} = 2.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho số phức z thỏa mãn $|z| = 1$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $A = |1 + \frac{5 i}{z}| .$

A. 5

B. 4

C. 6

D. 8

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Cho số phức z thỏa mãn: $|z - 2 - 2 i| = 1$ . Số phức có môđun nhỏ nhất là:

\sqrt{5} - 1

\sqrt{5} + 1

\sqrt{5} - 2

\sqrt{5} + 2

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Trong các số phức thỏa mãn điều kiện $|z + 3 i| = |z + 2 - i| .$ Tìm số phức có môđun nhỏ nhất?

Cho z₁, z₂ là hai số phức thỏa mãn $|2 z - i| = |2 + i z|$ , biết $|z_{1} - z_{2}| = 1$ . Tính giá trị của biểu thức $P = |z_{1} + z_{2}|$

Với hai số phức z₁ và z₂ thỏa mãn $z_{1} + z_{2} = 8 + 6 i$ và $|z_{1} - z_{2}| = 2$ . Tìm giá trị lớn nhất của $P = |z_{1}| + |z_{2}|$ .

Cho hai số phức $z_{1}, z_{2}$ thỏa mãn điều kiện $2 |\bar{z_{1}} + i| = |\bar{z_{1}} - z_{1} - 2 i|$ và $|z_{2} - i - 10| = 1$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $|z_{1} - z_{2}|$ ?

Cho hai số phức $z, ω$ thỏa mãn $|z - 1| = |z + 3 - 2 i|$ ; $ω = z + m + i$ với $m \in ℝ$ là tham số. Giá trị của m để ta luôn có $|ω| \geq 2 \sqrt{5}$ là:

Cho số phức z thỏa mãn $|z| = 1$ . Tìm giá trị lớn nhất $M_{\max}$ và giá trị nhỏ nhất của $M_{\min}$ biểu thức $M = |z^{2} + z + 1| + |z^{3} + 1| .$

Cho số phức z thỏa mãn $|z| = 1$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $A = |1 + \frac{5 i}{z}| .$