Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh bằng a. Khẳng định nào sau đây sai?

Vì theo giả thiết ABCD.A'B'C'D' ta dễ dàng chỉ ra được:

+ $\left\{\begin{array}{l}AC\perp BD\\ AC\perp B{B}^{\text{'}}\end{array}\right.$ và BD cắt BB' cùng nằm trong $\left(B{B}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}D\right)\Rightarrow AC\perp \left(B{B}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}D\right)$

Mà $B{D}^{\text{'}}\subset \left(B{B}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}D\right)\Rightarrow \Rightarrow AC\perp B{D}^{\text{'}}\Rightarrow$ đáp án D đúng.

+ $\left\{\begin{array}{l}AC\subset \left(AC{C}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}\right)\\ AC\perp \left(B{B}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}D\right)\end{array}\right.\Rightarrow \left(AC{C}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}\right)\perp \left(B{B}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}D\right)$ => đáp án A đúng.

+ Áp dụng đình lý Pytago trong tam giác B'A'D' vuông tại A' ta có:

$B^{\text{'}}{D^{\text{'}}}^2=B^{\text{'}}{A^{\text{'}}}^2+A^{\text{'}}{D^{\text{'}}}^2=a^2+a^2=2a^2$

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác BB'D' vuông tại B' ta có: $B{D^{\text{'}}}^2=B{B^{\text{'}}}^2+B^{\text{'}}{D^{\text{'}}}^2=a^2+2a^2=3a^2$

Hoàn toàn tương tự ta tính được độ dài các đường chéo còn lại của hình lập phương đều bằng nhau và bằng $a\sqrt{3}$ => đáp án B đúng.

+ Xét tứ giác ACC'A' có $\left\{\begin{array}{l}AC//A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}\\ AC=A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}=a\sqrt{3}\\ A{A}^{\text{'}}=C{C}^{\text{'}}=a\\ \widehat{AC{C}^{\text{'}}}=90°\end{array}\right.\Rightarrow AC{C}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}$ là hình chữ nhật. hoàn toàn tương tự ta cũng chỉ ra BDD'B' cũng là hình chữ nhật có các cạnh là a và $a\sqrt{3}$

=> Hai mặt ACC'A'  và BDD'B' là hai hình vuông bằng nhau => đáp án C sai.