Biết số phức z=x+yix,y∈ℝ, thỏa mãn đồng thời hai điều kiện z=z¯+4−3ivà P=z+1−i+z−2+3i biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất. Tính P=x+2y. A. P=−6110. B. P=−25350. C. P=−415. D. P=−185.

Chọn A .Theo giả thiết z=z¯+4−3i⇔x+yi=x+4−y+3i⇔x2+y2=x+42+y+32⇔x2+y2=x2+8x+16+y2+6y+9⇔8x+6y+25=0. Ta có P=x+12+y−12+x−22+y+32Xét điểm E−1;1; F2;−3 và Mx;y. Khi đó, P=ME+MF.Bài toán trở thành tìm điểm M∈Δ:8x+6y+25=0 sao cho ME+MF đạt giá trị nhỏ nhất.Vì 8xE+8yE+25.8xF+8yF+25>0 nên hai điểm E, F nằm cùng phía đối với đường thẳng ∆.Gọi E' là điểm đối xứng với E qua ∆Đường thẳng EE' đi qua điểm E (1; -1) và có VTPT n→EE'=u→Δ=3;−4 nên có phương trình 3x+1−4y−1=0⇔3x−4y+7=0Gọi H là giao điểm của EE' và ∆. Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình 3x−4y=−78x+6y=−25⇔x=−7125y=−1950 suy ra H−7125;−1950E' đối xứng với E qua H nên xE'=−11725yE'=−4425.Ta có ME+MF=ME'+MF≥E'F.Dấu bằng xảy ra ⇔M là giao điểm của E'F và đường thẳng ∆Đường thẳng EF' đi qua điểm F2;−3 và có VTPT n→EE'=31;167 có phương trình 31x−2+167y+3=0⇔ 31x+167y+439=0Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình 31x+167y=−4398x+6y=−25⇔x=−6750y=−11950Vậy P=x+2y=−6110.

Câu hỏi:

23/12/2022 400

Biết số phức $z = x + y i (x, y \in ℝ)$ , thỏa mãn đồng thời hai điều kiện $|z| = |\bar{z} + 4 - 3 i|$ và $P = |z + 1 - i| + |z - 2 + 3 i|$ biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất. Tính $P = x + 2 y$ .

A.

P = - \frac{61}{10}

.

Đáp án chính xác

B.

P = - \frac{253}{50}

.

C.

P = - \frac{41}{5}

.

D.

P = - \frac{18}{5}

.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Trắc nghiệm Toán 12 : Min - Max số phức có đáp án (Mới nhất) !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Chọn A .
Theo giả thiết

|z| = |\bar{z} + 4 - 3 i| \Leftrightarrow |x + y i| = |(x + 4) - (y + 3) i|

\Leftrightarrow \sqrt{x^{2} + y^{2}} = \sqrt{{(x + 4)}^{2} + {(y + 3)}^{2}} \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} = x^{2} + 8 x + 16 + y^{2} + 6 y + 9 \Leftrightarrow 8 x + 6 y + 25 = 0 .

Ta có

P = \sqrt{{(x + 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2}} + \sqrt{{(x - 2)}^{2} + {(y + 3)}^{2}}

Xét điểm

E (- 1; 1)

;

F (2; - 3)

và

M (x; y)

. Khi đó,

P = M E + M F

.
Bài toán trở thành tìm điểm

M \in Δ : 8 x + 6 y + 25 = 0

sao cho

M E + M F

đạt giá trị nhỏ nhất.
Vì

(8 x_{E} + 8 y_{E} + 25) . (8 x_{F} + 8 y_{F} + 25) > 0

nên hai điểm E, F nằm cùng phía đối với đường thẳng

∆

.
Gọi E' là điểm đối xứng với E qua

∆

Đường thẳng EE' đi qua điểm E (1; -1) và có VTPT

{\vec{n}}_{E E^{'}} = {\vec{u}}_{Δ} = (3; - 4)

nên có phương trình

3 (x + 1) - 4 (y - 1) = 0 \Leftrightarrow 3 x - 4 y + 7 = 0

Gọi H là giao điểm của EE' và

∆

. Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình

\{\begin{cases} 3 x - 4 y = - 7 \\ 8 x + 6 y = - 25 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = - \frac{71}{25} \\ y = - \frac{19}{50} \end{cases}

suy ra

H (- \frac{71}{25}; - \frac{19}{50})

E' đối xứng với E qua H nên

\{\begin{cases} x_{E^{'}} = - \frac{117}{25} \\ y_{E^{'}} = - \frac{44}{25} \end{cases}

.
Ta có

M E + M F = M E^{'} + M F \geq E^{'} F

.
Dấu bằng xảy ra

\Leftrightarrow M

là giao điểm của E'F và đường thẳng

∆

Đường thẳng EF' đi qua điểm

F (2; - 3)

và có VTPT

{\vec{n}}_{E E^{'}} = (31; 167)

có phương trình

31 (x - 2) + 167 (y + 3) = 0 \Leftrightarrow 31 x + 167 y + 439 = 0

Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình

\{\begin{cases} 31 x + 167 y = - 439 \\ 8 x + 6 y = - 25 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = - \frac{67}{50} \\ y = - \frac{119}{50} \end{cases}

Vậy

P = x + 2 y = - \frac{61}{10}

.

Bình luận

Câu 1:

Cho z₁, z₂ là hai số phức thỏa mãn $|2 z - i| = |2 + i z|$ , biết $|z_{1} - z_{2}| = 1$ . Tính giá trị của biểu thức $P = |z_{1} + z_{2}|$

A.

P = \frac{\sqrt{3}}{2}

.

B.

P = \sqrt{2}

.

C.

P = \frac{\sqrt{2}}{2}

.

D.

P = \sqrt{3}

Xem đáp án » 23/12/2022 4,759

Câu 2:

Với hai số phức z₁ và z₂ thỏa mãn $z_{1} + z_{2} = 8 + 6 i$ và $|z_{1} - z_{2}| = 2$ . Tìm giá trị lớn nhất của $P = |z_{1}| + |z_{2}|$ .

A.

P = 5 + 3 \sqrt{5} .

B.

P = 2 \sqrt{26} .

C.

P = 4 \sqrt{6} .

D.

P = 34 + 3 \sqrt{2} .

Xem đáp án » 20/12/2022 2,123

Câu 3:

Cho hai số phức $z_{1}, z_{2}$ thỏa mãn điều kiện $2 |\bar{z_{1}} + i| = |\bar{z_{1}} - z_{1} - 2 i|$ và $|z_{2} - i - 10| = 1$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $|z_{1} - z_{2}|$ ?

A.

\sqrt{10} + 1

.

B.

3 \sqrt{5} - 1

.

C.

\sqrt{\sqrt{101} + 1}

.

D.

\sqrt{\sqrt{101} - 1}

Xem đáp án » 24/12/2022 1,956

Câu 4:

Cho hai số phức $z, ω$ thỏa mãn $|z - 1| = |z + 3 - 2 i|$ ; $ω = z + m + i$ với $m \in ℝ$ là tham số. Giá trị của m để ta luôn có $|ω| \geq 2 \sqrt{5}$ là:

A.

[\begin{array}{l} m \geq 7 \\ m \leq 3 \end{array}

.

B.

[\begin{array}{l} m \geq 7 \\ m \leq - 3 \end{array}

.

C.

- 3 \leq m < 7

.

D.

3 \leq m \leq 7

.

Xem đáp án » 25/12/2022 1,472

Câu 5:

Cho số phức z thỏa mãn $|z| = 1$ . Tìm giá trị lớn nhất $M_{\max}$ và giá trị nhỏ nhất của $M_{\min}$ biểu thức $M = |z^{2} + z + 1| + |z^{3} + 1| .$

A.

M_{\max} = 5; M_{\min} = 1.

B.

M_{\max} = 5; M_{\min} = 2.

C.

M_{\max} = 4; M_{\min} = 1.

D.

M_{\max} = 4; M_{\min} = 2.

Xem đáp án » 11/12/2022 1,342

Câu 6:

Cho số phức z thỏa mãn: $|z - 2 - 2 i| = 1$ . Số phức có môđun nhỏ nhất là:

A.

\sqrt{5} - 1

B.

\sqrt{5} + 1

C.

\sqrt{5} - 2

D.

\sqrt{5} + 2

.

Xem đáp án » 19/12/2022 1,266

Câu 7:

Cho số phức z thỏa mãn $|z| = 1$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $A = |1 + \frac{5 i}{z}| .$

A. 5

B. 4

C. 6

D. 8

Xem đáp án » 11/12/2022 1,256

Xem thêm các câu hỏi khác »

Biết số phức $z = x + y i (x, y \in ℝ)$ , thỏa mãn đồng thời hai điều kiện $|z| = |\bar{z} + 4 - 3 i|$ và $P = |z + 1 - i| + |z - 2 + 3 i|$ biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất. Tính $P = x + 2 y$ .

Nhà sách VIETJACK:

Bình luận

Cho z₁, z₂ là hai số phức thỏa mãn $|2 z - i| = |2 + i z|$ , biết $|z_{1} - z_{2}| = 1$ . Tính giá trị của biểu thức $P = |z_{1} + z_{2}|$

Với hai số phức z₁ và z₂ thỏa mãn $z_{1} + z_{2} = 8 + 6 i$ và $|z_{1} - z_{2}| = 2$ . Tìm giá trị lớn nhất của $P = |z_{1}| + |z_{2}|$ .

Cho hai số phức $z_{1}, z_{2}$ thỏa mãn điều kiện $2 |\bar{z_{1}} + i| = |\bar{z_{1}} - z_{1} - 2 i|$ và $|z_{2} - i - 10| = 1$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $|z_{1} - z_{2}|$ ?

Cho hai số phức $z, ω$ thỏa mãn $|z - 1| = |z + 3 - 2 i|$ ; $ω = z + m + i$ với $m \in ℝ$ là tham số. Giá trị của m để ta luôn có $|ω| \geq 2 \sqrt{5}$ là:

Cho số phức z thỏa mãn $|z| = 1$ . Tìm giá trị lớn nhất $M_{\max}$ và giá trị nhỏ nhất của $M_{\min}$ biểu thức $M = |z^{2} + z + 1| + |z^{3} + 1| .$

Cho số phức z thỏa mãn: $|z - 2 - 2 i| = 1$ . Số phức có môđun nhỏ nhất là:

Cho số phức z thỏa mãn $|z| = 1$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $A = |1 + \frac{5 i}{z}| .$

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

Biết số phức z=x+yix,y∈ℝ, thỏa mãn đồng thời hai điều kiện z=z¯+4−3ivà P=z+1−i+z−2+3i biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất. Tính P=x+2y.

Nhà sách VIETJACK:

Bình luận

Cho z1, z2 là hai số phức thỏa mãn 2z−i=2+iz, biết z1−z2=1. Tính giá trị của biểu thức P=z1+z2

Với hai số phức z1 và z2 thỏa mãn z1+z2=8+6i và z1−z2=2. Tìm giá trị lớn nhất của P=z1+z2.

Cho hai số phức z1,z2 thỏa mãn điều kiện 2z1¯+i=z1¯−z1−2i và z2−i−10=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức z1−z2?

Cho hai số phức z,ω thỏa mãn z−1=z+3−2i; ω=z+m+i với m∈ℝ là tham số. Giá trị của m để ta luôn có ω≥25 là:

Cho số phức z thỏa mãn z=1. Tìm giá trị lớn nhất Mmax và giá trị nhỏ nhất của Mmin biểu thức M=z2+z+1+z3+1.

Cho số phức z thỏa mãn: z−2−2i=1. Số phức có môđun nhỏ nhất là:

Cho số phức z thỏa mãn z=1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A=1+5iz.

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Biết số phức $z = x + y i (x, y \in ℝ)$ , thỏa mãn đồng thời hai điều kiện $|z| = |\bar{z} + 4 - 3 i|$ và $P = |z + 1 - i| + |z - 2 + 3 i|$ biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất. Tính $P = x + 2 y$ .

Cho z₁, z₂ là hai số phức thỏa mãn $|2 z - i| = |2 + i z|$ , biết $|z_{1} - z_{2}| = 1$ . Tính giá trị của biểu thức $P = |z_{1} + z_{2}|$

Với hai số phức z₁ và z₂ thỏa mãn $z_{1} + z_{2} = 8 + 6 i$ và $|z_{1} - z_{2}| = 2$ . Tìm giá trị lớn nhất của $P = |z_{1}| + |z_{2}|$ .

Cho hai số phức $z_{1}, z_{2}$ thỏa mãn điều kiện $2 |\bar{z_{1}} + i| = |\bar{z_{1}} - z_{1} - 2 i|$ và $|z_{2} - i - 10| = 1$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $|z_{1} - z_{2}|$ ?

Cho hai số phức $z, ω$ thỏa mãn $|z - 1| = |z + 3 - 2 i|$ ; $ω = z + m + i$ với $m \in ℝ$ là tham số. Giá trị của m để ta luôn có $|ω| \geq 2 \sqrt{5}$ là:

Cho số phức z thỏa mãn $|z| = 1$ . Tìm giá trị lớn nhất $M_{\max}$ và giá trị nhỏ nhất của $M_{\min}$ biểu thức $M = |z^{2} + z + 1| + |z^{3} + 1| .$

Cho số phức z thỏa mãn: $|z - 2 - 2 i| = 1$ . Số phức có môđun nhỏ nhất là:

Cho số phức z thỏa mãn $|z| = 1$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $A = |1 + \frac{5 i}{z}| .$