Biết số phức z=x+yix,y∈ℝ, thỏa mãn đồng thời hai điều kiện z=z¯+4−3ivà P=z+1−i+z−2+3i biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất. Tính P=x+2y. A. P=−6110. B. P=−25350. C. P=−415. D. P=−185.

Chọn A .Theo giả thiết z=z¯+4−3i⇔x+yi=x+4−y+3i⇔x2+y2=x+42+y+32⇔x2+y2=x2+8x+16+y2+6y+9⇔8x+6y+25=0. Ta có P=x+12+y−12+x−22+y+32Xét điểm E−1;1; F2;−3 và Mx;y. Khi đó, P=ME+MF.Bài toán trở thành tìm điểm M∈Δ:8x+6y+25=0 sao cho ME+MF đạt giá trị nhỏ nhất.Vì 8xE+8yE+25.8xF+8yF+25>0 nên hai điểm E, F nằm cùng phía đối với đường thẳng ∆.Gọi E' là điểm đối xứng với E qua ∆Đường thẳng EE' đi qua điểm E (1; -1) và có VTPT n→EE'=u→Δ=3;−4 nên có phương trình 3x+1−4y−1=0⇔3x−4y+7=0Gọi H là giao điểm của EE' và ∆. Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình 3x−4y=−78x+6y=−25⇔x=−7125y=−1950 suy ra H−7125;−1950E' đối xứng với E qua H nên xE'=−11725yE'=−4425.Ta có ME+MF=ME'+MF≥E'F.Dấu bằng xảy ra ⇔M là giao điểm của E'F và đường thẳng ∆Đường thẳng EF' đi qua điểm F2;−3 và có VTPT n→EE'=31;167 có phương trình 31x−2+167y+3=0⇔ 31x+167y+439=0Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình 31x+167y=−4398x+6y=−25⇔x=−6750y=−11950Vậy P=x+2y=−6110.

Câu hỏi:

23/12/2022 428

Biết số phức $z = x + y i (x, y \in ℝ)$ , thỏa mãn đồng thời hai điều kiện $|z| = |\bar{z} + 4 - 3 i|$ và $P = |z + 1 - i| + |z - 2 + 3 i|$ biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất. Tính $P = x + 2 y$ .

P = - \frac{61}{10}

P = - \frac{253}{50}

P = - \frac{41}{5}

P = - \frac{18}{5}

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Trắc nghiệm Toán 12 : Min - Max số phức có đáp án (Mới nhất) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Chọn A .
Theo giả thiết

|z| = |\bar{z} + 4 - 3 i| \Leftrightarrow |x + y i| = |(x + 4) - (y + 3) i|

\Leftrightarrow \sqrt{x^{2} + y^{2}} = \sqrt{{(x + 4)}^{2} + {(y + 3)}^{2}} \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} = x^{2} + 8 x + 16 + y^{2} + 6 y + 9 \Leftrightarrow 8 x + 6 y + 25 = 0 .

Ta có

P = \sqrt{{(x + 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2}} + \sqrt{{(x - 2)}^{2} + {(y + 3)}^{2}}

Xét điểm

E (- 1; 1)

;

F (2; - 3)

và

M (x; y)

. Khi đó,

P = M E + M F

.
Bài toán trở thành tìm điểm

M \in Δ : 8 x + 6 y + 25 = 0

sao cho

M E + M F

đạt giá trị nhỏ nhất.
Vì

(8 x_{E} + 8 y_{E} + 25) . (8 x_{F} + 8 y_{F} + 25) > 0

nên hai điểm E, F nằm cùng phía đối với đường thẳng

∆

.
Gọi E' là điểm đối xứng với E qua

∆

Đường thẳng EE' đi qua điểm E (1; -1) và có VTPT

{\vec{n}}_{E E^{'}} = {\vec{u}}_{Δ} = (3; - 4)

nên có phương trình

3 (x + 1) - 4 (y - 1) = 0 \Leftrightarrow 3 x - 4 y + 7 = 0

Gọi H là giao điểm của EE' và

∆

. Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình

\{\begin{cases} 3 x - 4 y = - 7 \\ 8 x + 6 y = - 25 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = - \frac{71}{25} \\ y = - \frac{19}{50} \end{cases}

suy ra

H (- \frac{71}{25}; - \frac{19}{50})

E' đối xứng với E qua H nên

\{\begin{cases} x_{E^{'}} = - \frac{117}{25} \\ y_{E^{'}} = - \frac{44}{25} \end{cases}

.
Ta có

M E + M F = M E^{'} + M F \geq E^{'} F

.
Dấu bằng xảy ra

\Leftrightarrow M

là giao điểm của E'F và đường thẳng

∆

Đường thẳng EF' đi qua điểm

F (2; - 3)

và có VTPT

{\vec{n}}_{E E^{'}} = (31; 167)

có phương trình

31 (x - 2) + 167 (y + 3) = 0 \Leftrightarrow 31 x + 167 y + 439 = 0

Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình

\{\begin{cases} 31 x + 167 y = - 439 \\ 8 x + 6 y = - 25 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = - \frac{67}{50} \\ y = - \frac{119}{50} \end{cases}

Vậy

P = x + 2 y = - \frac{61}{10}

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho z₁, z₂ là hai số phức thỏa mãn $|2 z - i| = |2 + i z|$ , biết $|z_{1} - z_{2}| = 1$ . Tính giá trị của biểu thức $P = |z_{1} + z_{2}|$

P = \frac{\sqrt{3}}{2}

P = \sqrt{2}

P = \frac{\sqrt{2}}{2}

P = \sqrt{3}

Lời giải

Chọn D.
+ Đặt

z = x + y i

x, y \in ℝ

ta có

|2 z - i| = |2 + i z| \Leftrightarrow |2 x + (2 y - 1) i| = |(2 - y) + x i|

\sqrt{4 x^{2} + {(2 y - 1)}^{2}} = \sqrt{{(2 - y)}^{2} + x^{2}} \Leftrightarrow 4 x^{2} + 4 y^{2} - 4 y + 1 = 4 - 4 y + y^{2} + x^{2} \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} = 1 \Rightarrow |z| = 1 \Rightarrow |z_{1}| = |z_{2}| = 1

+ Sử dụng công thức:

\forall z_{1}, z_{2} \in ℂ

ta có

{|z_{1} + z_{2}|}^{2} + {|z_{1} - z_{2}|}^{2} = 2 ({|z_{1}|}^{2} + {|z_{2}|}^{2})

Suy ra

P = \sqrt{3}

Câu 2

Với hai số phức z₁ và z₂ thỏa mãn $z_{1} + z_{2} = 8 + 6 i$ và $|z_{1} - z_{2}| = 2$ . Tìm giá trị lớn nhất của $P = |z_{1}| + |z_{2}|$ .

P = 5 + 3 \sqrt{5} .

P = 2 \sqrt{26} .

P = 4 \sqrt{6} .

P = 34 + 3 \sqrt{2} .

Lời giải

Bổ đề. Cho hai số phức z₁ và z₂, ta luôn có

{|z_{1} + z_{2}|}^{2} + {|z_{1} - z_{2}|}^{2} = 2 ({|z_{1}|}^{2} + {|z_{2}|}^{2}) (*)

.
Chứng minh. Sử dụng công thức

{|z_{1} + z_{2}|}^{2} = (z_{1} + z_{2}) (\bar{z_{1}} + \bar{z_{2}})

và

z . \bar{z} = {|z|}^{2}

. Khi đó

\begin{matrix} {|z_{1} + z_{2}|}^{2} + {|z_{1} - z_{2}|}^{2} = (z_{1} + z_{2}) (\bar{z_{1}} + \bar{z_{2}}) + (z_{1} - z_{2}) (\bar{z_{1}} - \bar{z_{2}}) \\ = z_{1} . \bar{z_{1}} + z_{1} . \bar{z_{2}} + \bar{z_{1}} . z_{2} + z_{2} . \bar{z_{2}} + z_{1} . \bar{z_{1}} - z_{1} . \bar{z_{2}} - \bar{z_{1}} . z_{2} + z_{2} . \bar{z_{2}} \\ = 2 (z_{1} . \bar{z_{1}} + z_{2} . \bar{z_{2}}) = 2 ({|z_{1}|}^{2} + {|z_{2}|}^{2}) \to đ p c m . \end{matrix}

Áp dụng (*), ta được

{|z_{1} + z_{2}|}^{2} + {|z_{1} - z_{2}|}^{2} = 4 \Rightarrow {|z_{1} - z_{2}|}^{2} = 4 - {(\sqrt{3})}^{2} = 1 \Rightarrow |z_{1} - z_{2}| = 1.

Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki,

P = |z_{1}| + |z_{2}| \leq \sqrt{2 ({|z_{1}|}^{2} + {|z_{2}|}^{2})} = 2 \sqrt{26} .

ta được Chọn B.

Câu 3

Cho hai số phức $z_{1}, z_{2}$ thỏa mãn điều kiện $2 |\bar{z_{1}} + i| = |\bar{z_{1}} - z_{1} - 2 i|$ và $|z_{2} - i - 10| = 1$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $|z_{1} - z_{2}|$ ?

\sqrt{10} + 1

3 \sqrt{5} - 1

\sqrt{\sqrt{101} + 1}

\sqrt{\sqrt{101} - 1}

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho hai số phức $z, ω$ thỏa mãn $|z - 1| = |z + 3 - 2 i|$ ; $ω = z + m + i$ với $m \in ℝ$ là tham số. Giá trị của m để ta luôn có $|ω| \geq 2 \sqrt{5}$ là:

[\begin{array}{l} m \geq 7 \\ m \leq 3 \end{array}

[\begin{array}{l} m \geq 7 \\ m \leq - 3 \end{array}

- 3 \leq m < 7

3 \leq m \leq 7

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho số phức z thỏa mãn $|z| = 1$ . Tìm giá trị lớn nhất $M_{\max}$ và giá trị nhỏ nhất của $M_{\min}$ biểu thức $M = |z^{2} + z + 1| + |z^{3} + 1| .$

M_{\max} = 5; M_{\min} = 1.

M_{\max} = 5; M_{\min} = 2.

M_{\max} = 4; M_{\min} = 1.

M_{\max} = 4; M_{\min} = 2.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho số phức z thỏa mãn $|z| = 1$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $A = |1 + \frac{5 i}{z}| .$

A. 5

B. 4

C. 6

D. 8

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Cho số phức z thỏa mãn: $|z - 2 - 2 i| = 1$ . Số phức có môđun nhỏ nhất là:

\sqrt{5} - 1

\sqrt{5} + 1

\sqrt{5} - 2

\sqrt{5} + 2

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Tiếng Anh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

ĐHQG Hồ Chí Minh

ĐH Bách Khoa

ĐHQG Hà Nội

Bộ Công an

ĐHSP Hà Nội

Bằng lái xe

English Test

IT Test

Đại học

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Global success

iLearn Smart World

Friends Global

Explore new worlds

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử