Xét các số phức z=a+bi a,b∈ℝthỏa mãn z+2−3i=22. Tính P=2a+b khi z+1+6i+z−7−2i đạt giá trị lớn nhất. A. P=1. B. P=−3. C. P=3. D. P=7.

Chọn BGọi z=x+yi với x,y∈ℝ.Ta có: z+2−3i=22⇔x+22+y−32=8. Suy ra, tập hợp điểm Mx;y biểu diễn cho số phức z trên hệ tọa độ Oxy là đường tròn (C) tâm I−2;3 và bán kính R=8.Gọi A−1;−6, B7;2 và J3;−2 là trung điểm của AB.Đặt P=z+1+6i+z−7−2i suy ra P=MA+MB≤2MA2+MB2. (BĐT Bunhiacopxki).Phương trình đường trung trực ∆ của AB là: x=3−ty=−2+t. Ta có: MA2+MB2=2MJ2+AB22 với J là trung điểm của AB.Vì M chạy trên đường tròn , J cố định nên MJ≤IJ+R.Do P2≤4IJ+R2+AB2 vậy nên Pmax=4IJ+R2+AB2. Dấu "=" xảy ra khi MA=MB và ba điểm M, I, J thẳng hàng. Điều này thỏa mãn nhờ IA=IB. Do đó: M=Δ∩C, tọa độ của M là nghiệm hệ: Mặt khác: M−4;5⇒P=MA+MB=2130và .Vậy để PMax thì M−4;5 2a+b=−3 Suy ra 2a+b=−3.

Câu hỏi:

23/12/2022 1,170

Xét các số phức $z = a + b i (a, b \in ℝ)$ thỏa mãn $|z + 2 - 3 i| = 2 \sqrt{2}$ . Tính $P = 2 a + b$ khi $|z + 1 + 6 i| + |z - 7 - 2 i|$ đạt giá trị lớn nhất.

P = 1

P = - 3

P = 3

P = 7

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Trắc nghiệm Toán 12 : Min - Max số phức có đáp án (Mới nhất) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Chọn B
Gọi

z = x + y i

với

(x, y \in ℝ)

.
Ta có:

|z + 2 - 3 i| = 2 \sqrt{2} \Leftrightarrow {(x + 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 8

. Suy ra, tập hợp điểm

M (x; y)

biểu diễn cho số phức z trên hệ tọa độ

O x y

là đường tròn (C) tâm

I (- 2; 3)

và bán kính

R = \sqrt{8}

.
Gọi

A (- 1; - 6)

B (7; 2)

và

J (3; - 2)

là trung điểm của AB.
Đặt

P = |z + 1 + 6 i| + |z - 7 - 2 i|

suy ra

P = M A + M B \leq \sqrt{2 (M A^{2} + M B^{2})}

. (BĐT Bunhiacopxki).
Phương trình đường trung trực

∆

của AB là:

\{\begin{cases} x = 3 - t \\ y = - 2 + t \end{cases}

Ta có:

M A^{2} + M B^{2} = 2 M J^{2} + \frac{A B^{2}}{2}

với J là trung điểm của AB.
Vì M chạy trên đường tròn , J cố định nên

M J \leq IJ + R .

P^{2} \leq 4 {(IJ + R)}^{2} + A B^{2}

vậy nên

P_{m ax} = \sqrt{4 {(IJ + R)}^{2} + A B^{2}} .

Dấu "=" xảy ra khi

M A = M B

và ba điểm

M, I, J

thẳng hàng. Điều này thỏa mãn nhờ

I A = I B

.
Do đó:

M = Δ \cap (C)

, tọa độ của M là nghiệm hệ:
Media VietJack

Mặt khác:

M (- 4; 5) \Rightarrow P = M A + M B = 2 \sqrt{130}

và

.
Vậy để

P_{M a x}

thì

M (- 4; 5)

2 a + b = - 3

Suy ra

2 a + b = - 3

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho z₁, z₂ là hai số phức thỏa mãn $|2 z - i| = |2 + i z|$ , biết $|z_{1} - z_{2}| = 1$ . Tính giá trị của biểu thức $P = |z_{1} + z_{2}|$

P = \frac{\sqrt{3}}{2}

P = \sqrt{2}

P = \frac{\sqrt{2}}{2}

P = \sqrt{3}

Lời giải

Chọn D.
+ Đặt

z = x + y i

x, y \in ℝ

ta có

|2 z - i| = |2 + i z| \Leftrightarrow |2 x + (2 y - 1) i| = |(2 - y) + x i|

\sqrt{4 x^{2} + {(2 y - 1)}^{2}} = \sqrt{{(2 - y)}^{2} + x^{2}} \Leftrightarrow 4 x^{2} + 4 y^{2} - 4 y + 1 = 4 - 4 y + y^{2} + x^{2} \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} = 1 \Rightarrow |z| = 1 \Rightarrow |z_{1}| = |z_{2}| = 1

+ Sử dụng công thức:

\forall z_{1}, z_{2} \in ℂ

ta có

{|z_{1} + z_{2}|}^{2} + {|z_{1} - z_{2}|}^{2} = 2 ({|z_{1}|}^{2} + {|z_{2}|}^{2})

Suy ra

P = \sqrt{3}

Câu 2

Với hai số phức z₁ và z₂ thỏa mãn $z_{1} + z_{2} = 8 + 6 i$ và $|z_{1} - z_{2}| = 2$ . Tìm giá trị lớn nhất của $P = |z_{1}| + |z_{2}|$ .

P = 5 + 3 \sqrt{5} .

P = 2 \sqrt{26} .

P = 4 \sqrt{6} .

P = 34 + 3 \sqrt{2} .

Lời giải

Bổ đề. Cho hai số phức z₁ và z₂, ta luôn có

{|z_{1} + z_{2}|}^{2} + {|z_{1} - z_{2}|}^{2} = 2 ({|z_{1}|}^{2} + {|z_{2}|}^{2}) (*)

.
Chứng minh. Sử dụng công thức

{|z_{1} + z_{2}|}^{2} = (z_{1} + z_{2}) (\bar{z_{1}} + \bar{z_{2}})

và

z . \bar{z} = {|z|}^{2}

. Khi đó

\begin{matrix} {|z_{1} + z_{2}|}^{2} + {|z_{1} - z_{2}|}^{2} = (z_{1} + z_{2}) (\bar{z_{1}} + \bar{z_{2}}) + (z_{1} - z_{2}) (\bar{z_{1}} - \bar{z_{2}}) \\ = z_{1} . \bar{z_{1}} + z_{1} . \bar{z_{2}} + \bar{z_{1}} . z_{2} + z_{2} . \bar{z_{2}} + z_{1} . \bar{z_{1}} - z_{1} . \bar{z_{2}} - \bar{z_{1}} . z_{2} + z_{2} . \bar{z_{2}} \\ = 2 (z_{1} . \bar{z_{1}} + z_{2} . \bar{z_{2}}) = 2 ({|z_{1}|}^{2} + {|z_{2}|}^{2}) \to đ p c m . \end{matrix}

Áp dụng (*), ta được

{|z_{1} + z_{2}|}^{2} + {|z_{1} - z_{2}|}^{2} = 4 \Rightarrow {|z_{1} - z_{2}|}^{2} = 4 - {(\sqrt{3})}^{2} = 1 \Rightarrow |z_{1} - z_{2}| = 1.

Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki,

P = |z_{1}| + |z_{2}| \leq \sqrt{2 ({|z_{1}|}^{2} + {|z_{2}|}^{2})} = 2 \sqrt{26} .

ta được Chọn B.

Câu 3

Cho hai số phức $z_{1}, z_{2}$ thỏa mãn điều kiện $2 |\bar{z_{1}} + i| = |\bar{z_{1}} - z_{1} - 2 i|$ và $|z_{2} - i - 10| = 1$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $|z_{1} - z_{2}|$ ?

\sqrt{10} + 1

3 \sqrt{5} - 1

\sqrt{\sqrt{101} + 1}

\sqrt{\sqrt{101} - 1}

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho hai số phức $z, ω$ thỏa mãn $|z - 1| = |z + 3 - 2 i|$ ; $ω = z + m + i$ với $m \in ℝ$ là tham số. Giá trị của m để ta luôn có $|ω| \geq 2 \sqrt{5}$ là:

[\begin{array}{l} m \geq 7 \\ m \leq 3 \end{array}

[\begin{array}{l} m \geq 7 \\ m \leq - 3 \end{array}

- 3 \leq m < 7

3 \leq m \leq 7

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho số phức z thỏa mãn $|z| = 1$ . Tìm giá trị lớn nhất $M_{\max}$ và giá trị nhỏ nhất của $M_{\min}$ biểu thức $M = |z^{2} + z + 1| + |z^{3} + 1| .$

M_{\max} = 5; M_{\min} = 1.

M_{\max} = 5; M_{\min} = 2.

M_{\max} = 4; M_{\min} = 1.

M_{\max} = 4; M_{\min} = 2.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho số phức z thỏa mãn: $|z - 2 - 2 i| = 1$ . Số phức có môđun nhỏ nhất là:

\sqrt{5} - 1

\sqrt{5} + 1

\sqrt{5} - 2

\sqrt{5} + 2

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Cho số phức z thỏa mãn $|z| = 1$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $A = |1 + \frac{5 i}{z}| .$

A. 5

B. 4

C. 6

D. 8

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Xét các số phức z=a+bi a,b∈ℝthỏa mãn z+2−3i=22. Tính P=2a+b khi z+1+6i+z−7−2i đạt giá trị lớn nhất.

Cho z1, z2 là hai số phức thỏa mãn 2z−i=2+iz, biết z1−z2=1. Tính giá trị của biểu thức P=z1+z2

Với hai số phức z1 và z2 thỏa mãn z1+z2=8+6i và z1−z2=2. Tìm giá trị lớn nhất của P=z1+z2.

Cho hai số phức z1,z2 thỏa mãn điều kiện 2z1¯+i=z1¯−z1−2i và z2−i−10=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức z1−z2?

Cho hai số phức z,ω thỏa mãn z−1=z+3−2i; ω=z+m+i với m∈ℝ là tham số. Giá trị của m để ta luôn có ω≥25 là:

Cho số phức z thỏa mãn z=1. Tìm giá trị lớn nhất Mmax và giá trị nhỏ nhất của Mmin biểu thức M=z2+z+1+z3+1.

Cho số phức z thỏa mãn: z−2−2i=1. Số phức có môđun nhỏ nhất là:

Cho số phức z thỏa mãn z=1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A=1+5iz.

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Xét các số phức $z = a + b i (a, b \in ℝ)$ thỏa mãn $|z + 2 - 3 i| = 2 \sqrt{2}$ . Tính $P = 2 a + b$ khi $|z + 1 + 6 i| + |z - 7 - 2 i|$ đạt giá trị lớn nhất.

Cho z₁, z₂ là hai số phức thỏa mãn $|2 z - i| = |2 + i z|$ , biết $|z_{1} - z_{2}| = 1$ . Tính giá trị của biểu thức $P = |z_{1} + z_{2}|$

Với hai số phức z₁ và z₂ thỏa mãn $z_{1} + z_{2} = 8 + 6 i$ và $|z_{1} - z_{2}| = 2$ . Tìm giá trị lớn nhất của $P = |z_{1}| + |z_{2}|$ .

Cho hai số phức $z_{1}, z_{2}$ thỏa mãn điều kiện $2 |\bar{z_{1}} + i| = |\bar{z_{1}} - z_{1} - 2 i|$ và $|z_{2} - i - 10| = 1$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $|z_{1} - z_{2}|$ ?

Cho hai số phức $z, ω$ thỏa mãn $|z - 1| = |z + 3 - 2 i|$ ; $ω = z + m + i$ với $m \in ℝ$ là tham số. Giá trị của m để ta luôn có $|ω| \geq 2 \sqrt{5}$ là:

Cho số phức z thỏa mãn $|z| = 1$ . Tìm giá trị lớn nhất $M_{\max}$ và giá trị nhỏ nhất của $M_{\min}$ biểu thức $M = |z^{2} + z + 1| + |z^{3} + 1| .$

Cho số phức z thỏa mãn: $|z - 2 - 2 i| = 1$ . Số phức có môđun nhỏ nhất là:

Cho số phức z thỏa mãn $|z| = 1$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $A = |1 + \frac{5 i}{z}| .$