Biết rằng $\int {\frac{{\left( {2x + 3} \right)dx}}{{x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) + 1}} = - \frac{1}{{g\left( x \right)}} + C}$ (với C là hằng số). Gọi S là tập nghiệm của phương trình $g\left( x \right) = 0$. Tổng các phần tử của S bằng:

Hướng dẫn giải

Vì $x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) + 1 = \left( {{x^2} + 3x} \right)\left( {{x^2} + 3x + 2} \right) + 1 = {\left[ {\left( {{x^2} + 3x} \right) + 1} \right]^2}$ nên ta đặt $u = {x^2} + 3x$, khi đó $du = \left( {2x + 3} \right)dx$

Nguyên hàm ban đầu trở thành $\int {\frac{{du}}{{{{\left( {u + 1} \right)}^2}}} = - \frac{1}{{u + 1}} + C}$.

Suy ra $\int {\frac{{\left( {2x + 3} \right)dx}}{{x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) + 1}}} = - \frac{1}{{{x^2} + 3x + 1}} + C$

Vậy $g\left( x \right) = {x^2} + 3x + 1;\;g\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 3x + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{ - 3 + \sqrt 5 }}{2}\\x = \frac{{ - 3 - \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.$.

Do đó $S = \left\{ {\frac{{ - 3 + \sqrt 5 }}{2};\frac{{ - 3 - \sqrt 5 }}{2}} \right\}$.

Tổng giá trị các phần tử của S bằng $- 3$.

Chọn C.