Cho hàm số \[f\left( x \right)\] xác định trên \[\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1;1} \right\}\], thỏa mãn \[f'\left( x \right) = \frac{2}{{{x^2} - 1}};\;f\left( { - 3} \right) + f\left( 3 \right) = 2\ln 2\] và \[f\left( { - \frac{1}{2}} \right) + f\left( {\frac{1}{2}} \right) = 0\]. Giá trị của biểu thức \[P = f\left( { - 2} \right) + f\left( 0 \right) + f\left( 4 \right)\] là:

Hướng dẫn giải

Phân tích \[f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{{x^4} + 2{x^3} + {x^2}}} = \frac{{2x + 1}}{{{x^2}{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{2x + 1}}{{{{\left( {{x^2} + x} \right)}^2}}}\]

Khi đó \[F\left( x \right) = \int {\frac{{2x + 1}}{{{{\left( {{x^2} + x} \right)}^2}}}dx} = \int {\frac{1}{{{{\left( {{x^2} + x} \right)}^2}}}d\left( {{x^2} + x} \right)} = - \frac{1}{{{x^2} + x}} + C\].

Mặt khác \[F\left( 1 \right) = \frac{1}{2} \Rightarrow - \frac{1}{2} + C = \frac{1}{2} \Rightarrow C = 1\].

Vậy \[F\left( x \right) = - \frac{1}{{{x^2} + x}} + 1 = - \frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} + 1 = - \left( {\frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}}} \right) + 1\].

Do đó \[\begin{array}{l}S = F\left( 1 \right) + F\left( 2 \right) + F\left( 3 \right) + ... + F\left( {2019} \right) = - \left( {1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{{2019}} - \frac{1}{{2020}}} \right) + 2019\\\;\;\; = - \left( {1 - \frac{1}{{2020}}} \right) + 2019 = 2018 + \frac{1}{{2020}} = 2018\frac{1}{{2020}}\end{array}\]

Chọn C.

Hướng dẫn giải

Vận tốc \[v\left( t \right)\] chính là nguyên hàm của gia tốc \[a\left( t \right)\] nên ta có:

\[v\left( t \right) = \int {a\left( t \right)dt} = \int {\left( { - \frac{1}{{24}}{t^3} + \frac{5}{{16}}{t^2}} \right)dt} = - \frac{1}{{96}}{t^4} + \frac{5}{{48}}{t^3} + C\]

Tại thời điểm ban đầu \[\left( {t = 0} \right)\] thì vận động viên ở tại vị trí xuất phát nên vận tốc lúc đó là: \[{v_0} = 0 \Rightarrow v\left( 0 \right) = 0 \Leftrightarrow - \frac{1}{{96}}{.0^4} + \frac{5}{{48}}{.0^3} + C = 0 \Leftrightarrow C = 0\].

Vậy công thức vận tốc là \[v\left( t \right) = - \frac{1}{{96}}{t^4} + \frac{5}{{48}}{t^3}\]

Vận tốc của vận động viên tại giây thứ 5 là  \[v\left( 5 \right) = 6,51\;m/s\].

Chọn B.