Nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = \frac{{3{x^2} + 3x + 3}}{{{x^3} - 3x + 2}}\] là:

Hướng dẫn giải

Ta có: \[\int {\frac{{3{x^2} + 3x + 3}}{{{x^3} - 3x + 2}}dx} = \int {\frac{{3{x^2} + 3x + 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}\left( {x + 2} \right)}}dx} \].

Ta phân tích \[3{x^2} + 3x + 3 = A{\left( {x - 1} \right)^2} + B\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right) + C\left( {x + 2} \right)\].

Ta có thể dùng các giá trị riêng, tính ngay \[A = 1,C = 3\] và \[B = 2\].

(thay \[x = - 2 \Rightarrow A = 1;\;x = 1 \Rightarrow C = 3\] và \[x = 0 \Rightarrow B = 2\]).

Khi đó \[\int {\frac{{3{x^2} + 3x + 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}\left( {x + 2} \right)}}dx} = \int {\frac{1}{{x + 2}}dx} + 2\int {\frac{1}{{x - 1}}} dx + 3\int {\frac{1}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}dx} = \ln \left| {x + 2} \right| + 2\ln \left| {x - 1} \right| - \frac{3}{{x - 1}} + C\].

Chọn A.