Câu hỏi:
02/01/2023 19,148
Cho \[F\left( x \right)\] là một nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{{x^4} + 2{x^3} + {x^2}}}\] trên khoảng \[\left( {0; + \infty } \right)\] và \[F\left( 1 \right) = \frac{1}{2}\]. Tổng \[S = F\left( 1 \right) + F\left( 2 \right) + F\left( 3 \right) + ... + F\left( {2019} \right)\] là
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Hướng dẫn giải
Phân tích \[f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{{x^4} + 2{x^3} + {x^2}}} = \frac{{2x + 1}}{{{x^2}{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{2x + 1}}{{{{\left( {{x^2} + x} \right)}^2}}}\]
Khi đó \[F\left( x \right) = \int {\frac{{2x + 1}}{{{{\left( {{x^2} + x} \right)}^2}}}dx} = \int {\frac{1}{{{{\left( {{x^2} + x} \right)}^2}}}d\left( {{x^2} + x} \right)} = - \frac{1}{{{x^2} + x}} + C\].
Mặt khác \[F\left( 1 \right) = \frac{1}{2} \Rightarrow - \frac{1}{2} + C = \frac{1}{2} \Rightarrow C = 1\].
Vậy \[F\left( x \right) = - \frac{1}{{{x^2} + x}} + 1 = - \frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} + 1 = - \left( {\frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}}} \right) + 1\].
Do đó \[\begin{array}{l}S = F\left( 1 \right) + F\left( 2 \right) + F\left( 3 \right) + ... + F\left( {2019} \right) = - \left( {1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{{2019}} - \frac{1}{{2020}}} \right) + 2019\\\;\;\; = - \left( {1 - \frac{1}{{2020}}} \right) + 2019 = 2018 + \frac{1}{{2020}} = 2018\frac{1}{{2020}}\end{array}\]
Chọn C.
Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- 20 Bộ đề, Tổng ôn, sổ tay môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 55.000₫ )
- 20 đề thi tốt nghiệp môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 38.500₫ )
- Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới) ( 36.000₫ )
- Bộ đề thi tốt nghiệp 2025 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh, Sử, Địa, KTPL (có đáp án chi tiết) ( 36.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Hướng dẫn giải
\[f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx} = \int {\frac{2}{{{x^2} - 1}}dx} = \int {\left( {\frac{1}{{x - 1}} - \frac{1}{{x + 1}}} \right)dx} = \ln \left| {\frac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right| + C\]
Hay \[f\left( x \right) = \ln \left| {\frac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right| + C = \left\{ \begin{array}{l}\ln \left( {\frac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right) + {C_1}\;khi\;x > 1\\\ln \frac{{1 - x}}{{1 + x}} + {C_2}\;khi\; - 1 < x < 1\\\ln \left( {\frac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right) + {C_3}\;khi\;x < - 1\end{array} \right.\]
Theo bài ra, ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}f\left( { - 3} \right) + f\left( 3 \right) = 2\ln 2\\f\left( { - \frac{1}{2}} \right) + f\left( {\frac{1}{2}} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{C_1} + {C_3} = 2\ln 2\\{C_2} = 0\end{array} \right.\]
Do đó \[f\left( { - 2} \right) + f\left( 0 \right) + f\left( 4 \right) = \ln 3 + {C_3} + {C_2} + \ln \frac{3}{5} + {C_1} = 2\ln 2 + 2\ln 3 - \ln 5\].
Chọn C.
Lời giải
Hướng dẫn giải
Vận tốc \[v\left( t \right)\] chính là nguyên hàm của gia tốc \[a\left( t \right)\] nên ta có:
\[v\left( t \right) = \int {a\left( t \right)dt} = \int {\left( { - \frac{1}{{24}}{t^3} + \frac{5}{{16}}{t^2}} \right)dt} = - \frac{1}{{96}}{t^4} + \frac{5}{{48}}{t^3} + C\]
Tại thời điểm ban đầu \[\left( {t = 0} \right)\] thì vận động viên ở tại vị trí xuất phát nên vận tốc lúc đó là: \[{v_0} = 0 \Rightarrow v\left( 0 \right) = 0 \Leftrightarrow - \frac{1}{{96}}{.0^4} + \frac{5}{{48}}{.0^3} + C = 0 \Leftrightarrow C = 0\].
Vậy công thức vận tốc là \[v\left( t \right) = - \frac{1}{{96}}{t^4} + \frac{5}{{48}}{t^3}\]
Vận tốc của vận động viên tại giây thứ 5 là \[v\left( 5 \right) = 6,51\;m/s\].
Chọn B.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
🔥 Đề thi HOT:
-
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 1)
-
79 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 2 Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến và viết phương trình mặt phẳng có đáp án
-
87 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 3 Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến và viết phương trình mặt phẳng có đáp án
-
56 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 2: Lôgarit có đáp án
-
135 câu Bài tập Hình học mặt nón, mặt trụ, mặt cầu cực hay có lời giải (P1)
-
80 câu Trắc nghiệm Tích phân có đáp án (Phần 1)
-
15 câu Trắc nghiệm Số phức có đáp án (Vận dụng)
-
7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án ( Phần 1)