Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $\left[ { - 2;1} \right]$ thỏa mãn $f\left( 0 \right) = 3$ và ${\left( {f\left( x \right)} \right)^2}.f'\left( x \right) = 3{x^2} + 4x + 2$. Giá trị lớn nhất của hàm số $y = f\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ { - 2;1} \right]$ là:

Hướng dẫn giải

Ta có: ${\left( {f\left( x \right)} \right)^2}.f'\left( x \right) = 3{x^2} + 4x + 2\;\;\;\;\;\;\left( * \right)$

Lấy nguyên hàm hai vế của đẳng thức (*) ta được:

$\int {{{\left( {f\left( x \right)} \right)}^2}.f'\left( x \right)dx} = \int {\left( {3{x^2} + 4x + 2} \right)dx} \Leftrightarrow \frac{1}{3}{f^3}\left( x \right) = {x^3} + 2{x^2} + 2x + C \Leftrightarrow {f^3}\left( x \right) = 3{x^3} + 6{x^2} + 6x + 3C$

Theo giả thiết, ta có $f\left( 0 \right) = 3$ nên

${\left( {f\left( 0 \right)} \right)^3} = 3\left( {{0^3} + {{2.0}^2} + 2.0 + C} \right) \Leftrightarrow 27 = 3C \Leftrightarrow C = 9 \Rightarrow {f^3}\left( x \right) = 3{x^3} + 6{x^2} + 6x + 27$

Ta tìm giá trị lớn nhất của hàm số $g\left( x \right) = 3{x^3} + 6{x^2} + 6x + 27$ trên đoạn $\left[ { - 2;1} \right]$.

Ta có $g'\left( x \right) = 9{x^2} + 12x + 6 > 0,\forall x \in \left[ { - 2;1} \right]$ nên đồng biến trên đoạn $\left[ { - 2;1} \right]$.

Vậy $\mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{\left[ { - 2;1} \right]} = \sqrt[3]{{\mathop {\max g\left( x \right)}\limits_{\left[ { - 2;1} \right]} }} = \sqrt[3]{{42}}$.

Chọn C.