Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có đạo hàm liên tục trên đoạn \[\left[ { - 2;1} \right]\] thỏa mãn \[f\left( 0 \right) = 3\] và \[{\left( {f\left( x \right)} \right)^2}.f'\left( x \right) = 3{x^2} + 4x + 2\]. Giá trị lớn nhất của hàm số \[y = f\left( x \right)\] trên đoạn \[\left[ { - 2;1} \right]\] là:
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Hướng dẫn giải
Ta có: \[{\left( {f\left( x \right)} \right)^2}.f'\left( x \right) = 3{x^2} + 4x + 2\;\;\;\;\;\;\left( * \right)\]
Lấy nguyên hàm hai vế của đẳng thức (*) ta được:
\[\int {{{\left( {f\left( x \right)} \right)}^2}.f'\left( x \right)dx} = \int {\left( {3{x^2} + 4x + 2} \right)dx} \Leftrightarrow \frac{1}{3}{f^3}\left( x \right) = {x^3} + 2{x^2} + 2x + C \Leftrightarrow {f^3}\left( x \right) = 3{x^3} + 6{x^2} + 6x + 3C\]
Theo giả thiết, ta có \[f\left( 0 \right) = 3\] nên
\[{\left( {f\left( 0 \right)} \right)^3} = 3\left( {{0^3} + {{2.0}^2} + 2.0 + C} \right) \Leftrightarrow 27 = 3C \Leftrightarrow C = 9 \Rightarrow {f^3}\left( x \right) = 3{x^3} + 6{x^2} + 6x + 27\]
Ta tìm giá trị lớn nhất của hàm số \[g\left( x \right) = 3{x^3} + 6{x^2} + 6x + 27\] trên đoạn \[\left[ { - 2;1} \right]\].
Ta có \[g'\left( x \right) = 9{x^2} + 12x + 6 > 0,\forall x \in \left[ { - 2;1} \right]\] nên đồng biến trên đoạn \[\left[ { - 2;1} \right]\].
Vậy \[\mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{\left[ { - 2;1} \right]} = \sqrt[3]{{\mathop {\max g\left( x \right)}\limits_{\left[ { - 2;1} \right]} }} = \sqrt[3]{{42}}\].
Chọn C.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Dành cho bạn Hot
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Hướng dẫn giải
Phân tích \[f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{{x^4} + 2{x^3} + {x^2}}} = \frac{{2x + 1}}{{{x^2}{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{2x + 1}}{{{{\left( {{x^2} + x} \right)}^2}}}\]
Khi đó \[F\left( x \right) = \int {\frac{{2x + 1}}{{{{\left( {{x^2} + x} \right)}^2}}}dx} = \int {\frac{1}{{{{\left( {{x^2} + x} \right)}^2}}}d\left( {{x^2} + x} \right)} = - \frac{1}{{{x^2} + x}} + C\].
Mặt khác \[F\left( 1 \right) = \frac{1}{2} \Rightarrow - \frac{1}{2} + C = \frac{1}{2} \Rightarrow C = 1\].
Vậy \[F\left( x \right) = - \frac{1}{{{x^2} + x}} + 1 = - \frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} + 1 = - \left( {\frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}}} \right) + 1\].
Do đó \[\begin{array}{l}S = F\left( 1 \right) + F\left( 2 \right) + F\left( 3 \right) + ... + F\left( {2019} \right) = - \left( {1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{{2019}} - \frac{1}{{2020}}} \right) + 2019\\\;\;\; = - \left( {1 - \frac{1}{{2020}}} \right) + 2019 = 2018 + \frac{1}{{2020}} = 2018\frac{1}{{2020}}\end{array}\]
Chọn C.
Câu 2
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Hướng dẫn giải
\[f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx} = \int {\frac{2}{{2x - 1}}dx} = \ln \left| {2x - 1} \right| + C = \left\{ \begin{array}{l}\ln \left( {2x - 1} \right) + {C_1}\;khi\;x > \frac{1}{2}\\\ln \left( {1 - 2x} \right) + {C_2}\;khi\;x < \frac{1}{2}\end{array} \right.\]
Vì \[\left\{ \begin{array}{l}f\left( 0 \right) = 1\\f\left( 1 \right) = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{C_2} = 1\\{C_1} = 2\end{array} \right.\].
Suy ra \[f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\ln \left( {2x - 1} \right) + 2\;khi\;x > \frac{1}{2}\\\ln \left( {1 - 2x} \right) + 1\;khi\;x < \frac{1}{2}\end{array} \right.\].
Do đó \[P = f\left( { - 1} \right) + f\left( 3 \right) = 3 + \ln 3 + \ln 5 = 3 + \ln 15\]
Chọn D.
Câu 3
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập