Trong không gian Oxyz, góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{i}và\overrightarrow{u}=\left(-\sqrt{3};0;1\right)$  là

Ta có $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\left(2;6;2\right)$  nên  $\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right|=\sqrt{2^2+6^2+2^2}=\sqrt{44}=2\sqrt{11}.$

Chọn D.

Ta có $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$  cùng phương nên ta có  $\overrightarrow{b}=k.\overrightarrow{a}=\left(k;-2k;4k\right);\left(k\ne 0\right)$

Lại có $\left|\overrightarrow{b}\right|=\sqrt{21}.$  suy ra  $\sqrt{k^2+4k^2+16k^2}=\sqrt{21}\iff \left[\begin{array}{l}k=1\\ k=-1.\end{array}\right.$

Với $k=1$  ta có $\left|\overrightarrow{b}\right|=\left(1;-2;4\right),$  suy ra góc giữa $\overrightarrow{b}$ và Oy thỏa mãn

$\cos \left(\overrightarrow{b},Oy\right)=\frac{\overrightarrow{b}.\overrightarrow{j}}{\left|\overrightarrow{b}\right|.\left|\overrightarrow{j}\right|},$ trong đó  $\overrightarrow{b}.\overrightarrow{j}=-2<0.$

Suy ra góc tạo bởi $\overrightarrow{b}$  và Oy là góc tù. Suy ra $k=1$ không thỏa mãn.

Với $k=-1$  ta có $\left|\overrightarrow{b}\right|=\left(-1;2;-4\right),$  suy ra góc giữa $\overrightarrow{b}$ và Oy thỏa mãn

$\cos \left(\overrightarrow{b},Oy\right)=\frac{\overrightarrow{b}.\overrightarrow{j}}{\left|\overrightarrow{b}\right|.\left|\overrightarrow{j}\right|},$ trong đó  $\overrightarrow{b}.\overrightarrow{j}=2>0.$

Suy ra góc tạo bởi $\overrightarrow{b}$  và Oy là góc nhọn. Vậy $k=-1$ thỏa mãn.

Do đó $\left|\overrightarrow{b}\right|=\left(-1;2;-4\right).$ Suy ra  $x_0+y_0+z_0=-1+2-4=-3.$

Chọn A.