Câu hỏi:
31/01/2023 420
Giá trị của tham số m để phương trình \(\left( {\sin x + \cos x - 1} \right)\left( {\sin 4x - m} \right) = 0\) có đúng bốn nghiệm phân biệt thuộc đoạn \(\left[ {\frac{\pi }{8};\frac{{5\pi }}{6}} \right]\) là \(m \in \left[ {a;b} \right)\backslash \left\{ c \right\}\). Khi đó, giá trị biểu thức \({a^2} + 2b + c\) bằng?
Đáp án chính xác
Câu hỏi trong đề:
Bộ 20 đề thi học kì 1 Toán 11 năm 2022 - 2023 có đáp án !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án C
Phương pháp:
Tìm số nghiệm ở phương trình \(\sin x + \cos x = 1\) trong đoạn đã cho, rồi thiết lập điều kiện của m để phương trình \(\sin 4{\rm{x}} = m\) có nghiệm trong đoạn sao cho tổng hai nghiệm cả hai phương trình là bốn nghiệm phân biệt.
Cách giải:
Ta có \(\left( {\sin x + \cos x - 1} \right)\left( {\sin 4x - m} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x + \cos x = 1{\rm{ }}\left( 1 \right)\\\sin 4x = m{\rm{ }}\left( 2 \right)\end{array} \right.\).
\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\x + \frac{\pi }{4} = \pi - \frac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
+) \(\frac{\pi }{8} \le x = k2\pi \le \frac{{5\pi }}{6} \Rightarrow \frac{1}{{16}} \le k \le \frac{5}{{12}},k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k \in \cancel{\bigcirc }\)
+) \(\frac{\pi }{8} \le x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \le \frac{{5\pi }}{6} \Rightarrow - \frac{3}{{16}} \le k \le \frac{1}{6},k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k = 0\)
Do đó (1) có nghiệm duy nhất là: \(x = \frac{\pi }{2}\) thỏa mãn yêu cầu.
TH1: \(x = \frac{\pi }{2}\) là 1 nghiệm của (2), khi đó ta có: \(\sin 4\frac{\pi }{2} - m = 0 \Leftrightarrow m = 0\).
Thử lại: Với \(m = 0\) thì \(\sin 4{\rm{x}} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{k\pi }}{4}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(\frac{\pi }{8} \le \frac{{k\pi }}{4} \le \frac{{5\pi }}{6} \Leftrightarrow \frac{1}{2} \le k \le \frac{{10}}{3} \Rightarrow k \in \left\{ {1;2;3} \right\} \Rightarrow x \in \left\{ {\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{4}} \right\}\).
Vậy phương trình ban đầu có 3 nghiệm phân biệt thỏa mãn yêu cầu bài toán \( \Rightarrow m = 0\) loại.
TH2: \(x = \frac{\pi }{2}\) không là nghiệm của (2) \( \Rightarrow m \ne 0\).
Khi đó để phương trình ban đầu có 4 nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán thì (2) có 3 nghiệm phân biệt thỏa mãn \(x \in \left[ {\frac{\pi }{8};\frac{{5\pi }}{6}} \right]\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2}} \right\}\).
Với \(x \in \left[ {\frac{\pi }{8};\frac{{5\pi }}{6}} \right] \Rightarrow 4{\rm{x}} \in \left[ {\frac{\pi }{2};\frac{{10\pi }}{3}} \right]\), dựa vào đường tròn lượng giác ta tìm được \(m \in \left[ { - \frac{{\sqrt 3 }}{2};1} \right)\).
Vậy \(m \in \left[ { - \frac{{\sqrt 3 }}{2};1} \right)\backslash \left\{ 0 \right\} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\\b = 1\\c = 0\end{array} \right. \Rightarrow {a^2} + 2b + c = \frac{3}{4} + 2 = \frac{{11}}{4}\).Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi. Gọi O là giao điểm của AC và BD, M là giao điểm của AB và CD, N là giao điểm của AD và BC. Giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SC{\rm{D}}} \right)\) là?
Xem đáp án »
31/01/2023
4,383
Câu 2:
Tập xác định của hàm số \(y = \frac{{\sin x + 1}}{{\cos 2x - 1}}\) là?
Xem đáp án »
31/01/2023
2,472
Câu 3:
Cho hình chóp S.ABC. Lấy hai điểm M, N lần lượt nằm trên các cạnh SB, AB sao cho \(\frac{{SM}}{{SB}} = \frac{1}{4}\) và \(NB = 3NA\). Khi đó, đường thẳng MN song song với mặt phẳng?
Xem đáp án »
31/01/2023
1,838
Câu 4:
Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD. G là trung điểm của MN, I là giao điểm của đường thẳng AG và mặt phẳng \(\left( {BC{\rm{D}}} \right)\). Tính tỉ số \(\frac{{GI}}{{GA}}\)?
Xem đáp án »
31/01/2023
1,316
Câu 5:
Tìm tất cả giá trị của tham số m để phương trình \(\sin 3{\rm{x}} - m = 0\) có nghiệm?
Xem đáp án »
31/01/2023
1,105
Câu 6:
Từ các chữ số của tập \(X = \left\{ {1;2;4;5;7;8} \right\}\) có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số đôi một khác nhau?
Xem đáp án »
31/01/2023
788
Câu 7:
Trong hộp có 13 quả bóng bàn được đánh số từ 1 đến 13. Lấy ngẫu nhiên 6 quả bóng bàn trong hộp. Xác xuất để tổng số ghi trên 6 quả bóng bàn được lấy ra chia hết cho 2 là?
Xem đáp án »
31/01/2023
656
về câu hỏi!