Câu hỏi:
12/07/2024 351
Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thang có \(A{\rm{D // BC}}{\rm{, AB}} = BC = a\), \(BA{\rm{D}} = 60^\circ \).
a) Gọi M là trung điểm SD. Lấy điểm N nằm trên cạnh SA sao cho \(SN = 2NA\). Tìm giao điểm H của đường thẳng MN và mặt phẳng \(\left( {ABC{\rm{D}}} \right)\).
b) Gọi G là trọng tâm tam giác SAB. Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua G và song song với hai đường thẳng AB, CD. Tính chu vi thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).
Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thang có \(A{\rm{D // BC}}{\rm{, AB}} = BC = a\), \(BA{\rm{D}} = 60^\circ \).
a) Gọi M là trung điểm SD. Lấy điểm N nằm trên cạnh SA sao cho \(SN = 2NA\). Tìm giao điểm H của đường thẳng MN và mặt phẳng \(\left( {ABC{\rm{D}}} \right)\).
b) Gọi G là trọng tâm tam giác SAB. Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua G và song song với hai đường thẳng AB, CD. Tính chu vi thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).
Câu hỏi trong đề:
Bộ 20 đề thi học kì 1 Toán 11 năm 2022 - 2023 có đáp án !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Phương pháp:
a) \(\left\{ \begin{array}{l}a \cap b = M\\b \subset \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow a \cap \left( P \right) = M\).
b) Xác định mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).
Sử dụng định lí Cosin trong tam giác và định lí Ta-lét tính độ dài các cạnh của thiết diện, từ đó tính chu vi thiết diện.
Cách giải:
a) Trong mặt phẳng \(\left( {SA{\rm{D}}} \right)\) gọi: \(MN \cap A{\rm{D}} = H\).
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}H \in MN\\H \in {\rm{AD}} \subset \left( {ABC{\rm{D}}} \right) \Rightarrow H \in \left( {ABC{\rm{D}}} \right)\end{array} \right. \Rightarrow H = MN \cap \left( {ABC{\rm{D}}} \right)\).
b) Trong \(\left( {SAB} \right)\) qua G kẻ đường thẳng \(NJ{\rm{ // AB }}\left( {N \in SA,J \in SB} \right)\), ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}G \in \left( \alpha \right) \cap \left( {SAB} \right)\\\left( \alpha \right){\rm{ // AB}} \subset \left( {SAB} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( \alpha \right) \cap \left( {SAB} \right) = NJ\).
Trong \(\left( {SBC} \right)\) qua J kẻ \(JK{\rm{ // BC }}\left( {K \in SC} \right)\), CMTT ta có \(\left( \alpha \right) \cap \left( {SBC} \right) = JK\).
Trong \(\left( {SA{\rm{D}}} \right)\) qua N kẻ \(NP{\rm{ // AD }}\left( {P \in SD} \right)\), ta có \(\left( \alpha \right) \cap \left( {SA{\rm{D}}} \right) = NP\) và \(\left( \alpha \right) \cap \left( {SBC} \right) = PK\).
Do đó thiết diện của chóp cắt bởi \(\left( \alpha \right)\) là tứ giác NJKP.
Qua C kẻ đường thẳng song song với BA cắt AD tại E.
Dễ dàng chứng minh được ABCE là hình bình hành \( \Rightarrow A{\rm{E}} = BC = a \Rightarrow E{\rm{D}} = AB - A{\rm{E}} = 2{\rm{a}}\).
Lại có \(BA{\rm{D}} = 60^\circ \Rightarrow CE{\rm{D}} = 60^\circ \) (đồng vị).
Xét tam giác CED áp dụng định lý Cosin ta có:
\(C{{\rm{D}}^2} = C{E^2} + D{E^2} - 2CE.DE\cos \left( {CED} \right)\)
\( \Rightarrow C{D^2} = {a^2} + {\left( {2a} \right)^2} - 2 \times a \times 2a \times \cos \left( {60^\circ } \right)\)
\( \Rightarrow C{D^2} = 3{a^2} \Rightarrow CD = a\sqrt 3 \).
Mặt khác: \(\left\{ \begin{array}{l}SN = 2NA \Rightarrow \frac{{SN}}{{SA}} = \frac{2}{3}\\AB{\rm{ // NJ}}{\rm{, BC // JK}}{\rm{, CD // KP}}{\rm{, DA // PN}}\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow NJ = \frac{2}{3}AB = \frac{2}{3}a\)
\(JK = \frac{2}{3}BC = \frac{2}{3}a\)
\(NP = \frac{2}{3}A{\rm{D}} = 2{\rm{a}}\)
\(KP = \frac{2}{3}C{\rm{D}} = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}a\).
Chu vi thiết diện NJKP bằng: \(NJ + JK + NP + KP = \frac{2}{3}a + \frac{2}{3}a + 2{\rm{a}} + \frac{{2\sqrt 3 }}{3}a = \frac{{10 + 2\sqrt 3 }}{3}a\).
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi. Gọi O là giao điểm của AC và BD, M là giao điểm của AB và CD, N là giao điểm của AD và BC. Giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SC{\rm{D}}} \right)\) là?
Xem đáp án »
31/01/2023
3,054
Câu 2:
Tập xác định của hàm số \(y = \frac{{\sin x + 1}}{{\cos 2x - 1}}\) là?
Xem đáp án »
31/01/2023
2,263
Câu 3:
Cho hình chóp S.ABC. Lấy hai điểm M, N lần lượt nằm trên các cạnh SB, AB sao cho \(\frac{{SM}}{{SB}} = \frac{1}{4}\) và \(NB = 3NA\). Khi đó, đường thẳng MN song song với mặt phẳng?
Xem đáp án »
31/01/2023
1,653
Câu 4:
Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD. G là trung điểm của MN, I là giao điểm của đường thẳng AG và mặt phẳng \(\left( {BC{\rm{D}}} \right)\). Tính tỉ số \(\frac{{GI}}{{GA}}\)?
Xem đáp án »
31/01/2023
1,083
Câu 5:
Tìm tất cả giá trị của tham số m để phương trình \(\sin 3{\rm{x}} - m = 0\) có nghiệm?
Xem đáp án »
31/01/2023
936
Câu 6:
Từ các chữ số của tập \(X = \left\{ {1;2;4;5;7;8} \right\}\) có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số đôi một khác nhau?
Xem đáp án »
31/01/2023
749
Câu 7:
Trong hộp có 13 quả bóng bàn được đánh số từ 1 đến 13. Lấy ngẫu nhiên 6 quả bóng bàn trong hộp. Xác xuất để tổng số ghi trên 6 quả bóng bàn được lấy ra chia hết cho 2 là?
Xem đáp án »
31/01/2023
634
về câu hỏi!