Câu hỏi:
12/07/2024 179Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thang có \(A{\rm{D // BC}}{\rm{, AB}} = BC = a\), \(BA{\rm{D}} = 60^\circ \).
a) Gọi M là trung điểm SD. Lấy điểm N nằm trên cạnh SA sao cho \(SN = 2NA\). Tìm giao điểm H của đường thẳng MN và mặt phẳng \(\left( {ABC{\rm{D}}} \right)\).
b) Gọi G là trọng tâm tam giác SAB. Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua G và song song với hai đường thẳng AB, CD. Tính chu vi thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).
Siêu phẩm 30 đề thi thử THPT quốc gia 2024 do thầy cô VietJack biên soạn, chỉ từ 100k trên Shopee Mall.
Quảng cáo
Trả lời:
Phương pháp:
a) \(\left\{ \begin{array}{l}a \cap b = M\\b \subset \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow a \cap \left( P \right) = M\).
b) Xác định mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).
Sử dụng định lí Cosin trong tam giác và định lí Ta-lét tính độ dài các cạnh của thiết diện, từ đó tính chu vi thiết diện.
Cách giải:
a) Trong mặt phẳng \(\left( {SA{\rm{D}}} \right)\) gọi: \(MN \cap A{\rm{D}} = H\).
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}H \in MN\\H \in {\rm{AD}} \subset \left( {ABC{\rm{D}}} \right) \Rightarrow H \in \left( {ABC{\rm{D}}} \right)\end{array} \right. \Rightarrow H = MN \cap \left( {ABC{\rm{D}}} \right)\).
b) Trong \(\left( {SAB} \right)\) qua G kẻ đường thẳng \(NJ{\rm{ // AB }}\left( {N \in SA,J \in SB} \right)\), ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}G \in \left( \alpha \right) \cap \left( {SAB} \right)\\\left( \alpha \right){\rm{ // AB}} \subset \left( {SAB} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( \alpha \right) \cap \left( {SAB} \right) = NJ\).
Trong \(\left( {SBC} \right)\) qua J kẻ \(JK{\rm{ // BC }}\left( {K \in SC} \right)\), CMTT ta có \(\left( \alpha \right) \cap \left( {SBC} \right) = JK\).
Trong \(\left( {SA{\rm{D}}} \right)\) qua N kẻ \(NP{\rm{ // AD }}\left( {P \in SD} \right)\), ta có \(\left( \alpha \right) \cap \left( {SA{\rm{D}}} \right) = NP\) và \(\left( \alpha \right) \cap \left( {SBC} \right) = PK\).
Do đó thiết diện của chóp cắt bởi \(\left( \alpha \right)\) là tứ giác NJKP.
Qua C kẻ đường thẳng song song với BA cắt AD tại E.
Dễ dàng chứng minh được ABCE là hình bình hành \( \Rightarrow A{\rm{E}} = BC = a \Rightarrow E{\rm{D}} = AB - A{\rm{E}} = 2{\rm{a}}\).
Lại có \(BA{\rm{D}} = 60^\circ \Rightarrow CE{\rm{D}} = 60^\circ \) (đồng vị).
Xét tam giác CED áp dụng định lý Cosin ta có:
\(C{{\rm{D}}^2} = C{E^2} + D{E^2} - 2CE.DE\cos \left( {CED} \right)\)
\( \Rightarrow C{D^2} = {a^2} + {\left( {2a} \right)^2} - 2 \times a \times 2a \times \cos \left( {60^\circ } \right)\)
\( \Rightarrow C{D^2} = 3{a^2} \Rightarrow CD = a\sqrt 3 \).
Mặt khác: \(\left\{ \begin{array}{l}SN = 2NA \Rightarrow \frac{{SN}}{{SA}} = \frac{2}{3}\\AB{\rm{ // NJ}}{\rm{, BC // JK}}{\rm{, CD // KP}}{\rm{, DA // PN}}\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow NJ = \frac{2}{3}AB = \frac{2}{3}a\)
\(JK = \frac{2}{3}BC = \frac{2}{3}a\)
\(NP = \frac{2}{3}A{\rm{D}} = 2{\rm{a}}\)
\(KP = \frac{2}{3}C{\rm{D}} = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}a\).
Chu vi thiết diện NJKP bằng: \(NJ + JK + NP + KP = \frac{2}{3}a + \frac{2}{3}a + 2{\rm{a}} + \frac{{2\sqrt 3 }}{3}a = \frac{{10 + 2\sqrt 3 }}{3}a\).
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Câu 2:
Câu 3:
Câu 4:
Câu 5:
Câu 6:
Câu 7:
về câu hỏi!