Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình $x^2+y^2+z^2-4x+2y-2z-3=0$  và điểm $A\left(5;3;-2\right)$ . Một đường thẳng d thay đổi luôn đi qua A và luôn cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt $M,N$ .

Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S=AM+4AN$ .

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(9,6,11), B(5,7,2) và điểm M di động trên mặt cầu $\left(S\right):{\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z-3\right)}^2=36$ .

Giá trị nhỏ nhất của $AM+2MB$ bằng

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1,0,3), B(-3,1,3), C(1,5,1). Gọi $M\left(x_0;y_0;z_0\right)$  thuộc mặt phẳng tọa độ $\left(Oxy\right)$  sao cho biểu thức $T=2\left|\overrightarrow{MA}\right|+\left|\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|$  có giá trị nhỏ nhất. Giá trị của $x_0-y_0$  bằng

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm M(-2,-2,1), A(1,2,-3) và đường thẳng $d:\frac{x+1}{2}=\frac{y-5}{2}=\frac{z}{-1}$.Tìm một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$  của đường thẳng D đi qua , vuông góc với đường thẳng  đồng thời cách điểm  một khoảng bé nhất.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1,2,-3),B(-2,-2,1) và mặt phẳng $\left(\alpha \right)$  có phương trình $2x+2y-z+9=0$ . Gọi M là điểm thay đổi trên mặt phẳng $\left(\alpha \right)$  sao cho M luôn nhìn đoạn AB dưới một góc vuông. Xác định phương trình đường thẳng MB khi MB đạt giá trị lớn nhất.

Cho mặt cầu $\left(S\right):{\left(x-2\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2+{\left(z-3\right)}^2=9$  và hai điểm $A\left(1;1;3\right),B\left(21;9;-13\right)$ .

Điểm $M\left(a;b;c\right)$  thuộc mặt cầu $\left(S\right)$  sao cho $3M{A}^2+M{B}^2$  đạt giá trị nhỏ nhất.

Khi đó giá trị của biểu thức $T=a.b.c$  bằng