Câu hỏi:

31/01/2023 20,190

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình x2+y2+z24x+2y2z3=0  và điểm A5;3;2 . Một đường thẳng d thay đổi luôn đi qua A và luôn cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt M,N .

Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức S=AM+4AN .

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Media VietJack

Mặt cầu S  có tâm I2;1;1 , bán kính R=22+12+123=3 .

Ta có: AI=252+132+1+22=34>R  nên A nằm ngoài mặt cầu S .

Ta lại có: S=AM+4AN .

Đặt AM=x, x343;34+3 .

AM.AN=AI2R2=349=25AN=25AM .

Do đó: S=fx=x+100x  với x343;34+3 .

Ta có: f'x=1100x2=x2100x<0  với x343;34+3 .

Do đó: min343;34+3fx=f34+3=5349 .

Dấu “=” xảy ra A,M,N,I  thẳng hàng và AM=34+3; AN=343 .

Chọn C.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Media VietJack

Mặt cầu S:x12+y22+z32=36  có tâm I1;2;3  và bán kính R=6 .

Ta có IA=12=2R .

Gọi E là giao điểm của IA và mặt cầu S  suy ra E là trung điểm của IA nên E5;4;7 .

Gọi F là trung điểm của IE suy ra F3;3;5 .

Xét ΔMIF  ΔAIM  AIM^  chung và IFIM=IMIA=12 .

Suy ra ΔMIFΔAIMc.g.cMAMF=AIMI=2MA=2MF .

Do đó AM+2MB=2MF+MB2BF=229  (theo bất đẳng thức tam giác).

Dấu “=” xảy ra khi M là giao điểm FB và mặt cầu S .

Chọn C.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP