Câu hỏi:

31/01/2023 30,340

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 x + 2 y - 2 z - 3 = 0$ và điểm $A (5; 3; - 2)$ . Một đường thẳng d thay đổi luôn đi qua A và luôn cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt $M, N$ .

Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S = A M + 4 A N$ .

A. $S_{\min} = 30$ .

S_{\min} = 20

S_{\min} = 5 \sqrt{34} - 9

S_{\min} = \sqrt{34} - 3

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 87 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 3: Phương trình đường thẳng có đáp án !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Media VietJack

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I (2; - 1; 1)$ , bán kính $R = \sqrt{2^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2} - (- 3)} = 3$ .

Ta có: $A I = \sqrt{{(2 - 5)}^{2} + {(- 1 - 3)}^{2} + {(1 + 2)}^{2}} = \sqrt{34} > R$ nên A nằm ngoài mặt cầu $(S)$ .

Ta lại có: $S = A M + 4 A N$ .

Đặt $A M = x, x \in [\sqrt{34} - 3; \sqrt{34} + 3]$ .

Mà $A M . A N = A I^{2} - R^{2} = 34 - 9 = 25 \Rightarrow A N = \frac{25}{A M}$ .

Do đó: $S = f (x) = x + \frac{100}{x}$ với $x \in [\sqrt{34} - 3; \sqrt{34} + 3]$ .

Ta có: $f^{'} (x) = 1 - \frac{100}{x^{2}} = \frac{x^{2} - 100}{x} < 0$ với $x \in [\sqrt{34} - 3; \sqrt{34} + 3]$ .

Do đó: $\min_{[\sqrt{34} - 3; \sqrt{34} + 3]} f (x) = f (\sqrt{34} + 3) = 5 \sqrt{34} - 9$ .

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow A, M, N, I$ thẳng hàng và $A M = \sqrt{34} + 3; A N = \sqrt{34} - 3$ .

Chọn C.

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho mặt cầu $(S) : {(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 9$ và hai điểm $A (1; 1; 3), B (21; 9; - 13)$ .

Điểm $M (a; b; c)$ thuộc mặt cầu $(S)$ sao cho $3 M A^{2} + M B^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Khi đó giá trị của biểu thức $T = a . b . c$ bằng

A. 3.

B. 8.

C. 6.

- 18

Lời giải

Chọn B

Câu 2

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(9,6,11), B(5,7,2) và điểm M di động trên mặt cầu $(S) : {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 36$ .

Giá trị nhỏ nhất của $A M + 2 M B$ bằng

A. $\sqrt{105}$ .

2 \sqrt{26}

2 \sqrt{29}

\sqrt{102}

Lời giải

Media VietJack

Mặt cầu $(S) : {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 36$ có tâm $I (1; 2; 3)$ và bán kính $R = 6$ .

Ta có $I A = 12 = 2 R$ .

Gọi E là giao điểm của IA và mặt cầu $(S)$ suy ra E là trung điểm của IA nên $E (5; 4; 7)$ .

Gọi F là trung điểm của IE suy ra $F (3; 3; 5)$ .

Xét $Δ M I F$ và $Δ A I M$ có $\hat{A I M}$ chung và $\frac{I F}{I M} = \frac{I M}{I A} = \frac{1}{2}$ .

Suy ra $Δ M I F Δ A I M (c.g.c) \Rightarrow \frac{M A}{M F} = \frac{A I}{M I} = 2 \Rightarrow M A = 2 M F$ .

Do đó $A M + 2 M B = 2 (M F + M B) \geq 2 B F = 2 \sqrt{29}$ (theo bất đẳng thức tam giác).

Dấu “=” xảy ra khi M là giao điểm FB và mặt cầu $(S)$ .

Chọn C.

Câu 3

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1,0,3), B(-3,1,3), C(1,5,1). Gọi $M (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ thuộc mặt phẳng tọa độ $(O x y)$ sao cho biểu thức $T = 2 |\vec{M A}| + |\vec{M B} + \vec{M C}|$ có giá trị nhỏ nhất. Giá trị của $x_{0} - y_{0}$ bằng

A. $x_{0} - y_{0} = - \frac{8}{5}$ .

x_{0} - y_{0} = \frac{8}{5}

x_{0} - y_{0} = - 2

x_{0} - y_{0} = 2

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1,2,-3),B(-2,-2,1) và mặt phẳng $(α)$ có phương trình $2 x + 2 y - z + 9 = 0$ . Gọi M là điểm thay đổi trên mặt phẳng $(α)$ sao cho M luôn nhìn đoạn AB dưới một góc vuông. Xác định phương trình đường thẳng MB khi MB đạt giá trị lớn nhất.

A. $\{\begin{cases} x = - 2 - t \\ y = - 2 + 2 t \\ z = 1 + 2 t \end{cases}$ .

\{\begin{cases} x = - 2 + 2 t \\ y = - 2 - t \\ z = 1 + 2 t \end{cases}

\{\begin{cases} x = - 2 + t \\ y = - 2 \\ z = 1 + 2 t \end{cases}

\{\begin{cases} x = - 2 + t \\ y = - 2 - t \\ z = 1 \end{cases}

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2,-2,4), B(-3,3,-1) và đường thẳng $d : \frac{x - 5}{2} = \frac{y - 2}{- 1} = \frac{z}{- 1}$ . Xét M là điểm thay đổi thuộc d, giá trị nhỏ nhất của $2 M A^{2} + 3 M B^{2}$ bằng

A. 14.

B. 160.

4 \sqrt{10}

D. 18.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm M(-2,-2,1), A(1,2,-3) và đường thẳng $d : \frac{x + 1}{2} = \frac{y - 5}{2} = \frac{z}{- 1}$ .Tìm một vectơ chỉ phương $\vec{u}$ của đường thẳng D đi qua , vuông góc với đường thẳng đồng thời cách điểm một khoảng bé nhất.

A. .B. .C. .D. .

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Ôn vào 10

Ôn vào 6

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Khoa học tự nhiên

Tin học

Lịch sử

Địa lí

Toán

Văn

Tiếng Anh

Cho mặt cầu $(S) : {(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 9$ và hai điểm $A (1; 1; 3), B (21; 9; - 13)$ .

Điểm $M (a; b; c)$ thuộc mặt cầu $(S)$ sao cho $3 M A^{2} + M B^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Khi đó giá trị của biểu thức $T = a . b . c$ bằng

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(9,6,11), B(5,7,2) và điểm M di động trên mặt cầu $(S) : {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 36$ .

Giá trị nhỏ nhất của $A M + 2 M B$ bằng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2,-2,4), B(-3,3,-1) và đường thẳng $d : \frac{x - 5}{2} = \frac{y - 2}{- 1} = \frac{z}{- 1}$ . Xét M là điểm thay đổi thuộc d, giá trị nhỏ nhất của $2 M A^{2} + 3 M B^{2}$ bằng