Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình $x^2+y^2+z^2-4x+2y-2z-3=0$  và điểm $A\left(5;3;-2\right)$ . Một đường thẳng d thay đổi luôn đi qua A và luôn cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt $M,N$ .

Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S=AM+4AN$ .

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1,0,3), B(-3,1,3), C(1,5,1). Gọi $M\left(x_0;y_0;z_0\right)$  thuộc mặt phẳng tọa độ $\left(Oxy\right)$  sao cho biểu thức $T=2\left|\overrightarrow{MA}\right|+\left|\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|$  có giá trị nhỏ nhất. Giá trị của $x_0-y_0$  bằng

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(9,6,11), B(5,7,2) và điểm M di động trên mặt cầu $\left(S\right):{\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z-3\right)}^2=36$ .

Giá trị nhỏ nhất của $AM+2MB$ bằng

Cho mặt cầu $\left(S\right):{\left(x-2\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2+{\left(z-3\right)}^2=9$  và hai điểm $A\left(1;1;3\right),B\left(21;9;-13\right)$ .

Điểm $M\left(a;b;c\right)$  thuộc mặt cầu $\left(S\right)$  sao cho $3M{A}^2+M{B}^2$  đạt giá trị nhỏ nhất.

Khi đó giá trị của biểu thức $T=a.b.c$  bằng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1,2,-3),B(-2,-2,1) và mặt phẳng $\left(\alpha \right)$  có phương trình $2x+2y-z+9=0$ . Gọi M là điểm thay đổi trên mặt phẳng $\left(\alpha \right)$  sao cho M luôn nhìn đoạn AB dưới một góc vuông. Xác định phương trình đường thẳng MB khi MB đạt giá trị lớn nhất.

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm M(-2,-2,1), A(1,2,-3) và đường thẳng $d:\frac{x+1}{2}=\frac{y-5}{2}=\frac{z}{-1}$.Tìm một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$  của đường thẳng D đi qua , vuông góc với đường thẳng  đồng thời cách điểm  một khoảng bé nhất.