87 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 3 Dạng 5: Một số bài toán cực trị có đáp án

36 người thi tuần này 4.6 25.3 K lượt thi 7 câu hỏi 45 phút

Câu 1/7

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm M(-2,-2,1), A(1,2,-3) và đường thẳng $d : \frac{x + 1}{2} = \frac{y - 5}{2} = \frac{z}{- 1}$ .Tìm một vectơ chỉ phương $\vec{u}$ của đường thẳng D đi qua , vuông góc với đường thẳng đồng thời cách điểm một khoảng bé nhất.

A. .B. .C. .D. .

Lời giải

Xét là mặt phẳng qua và .

Mặt phẳng qua và có vectơ pháp tuyến nên có phương trình: .

Gọi lần lượt là hình chiếu của lên và D.

Khi đó nên đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi .

Đường thẳng đi qua và có vectơ chỉ phương nên có phương trình tham số là .

Vì nên .

Lại nên .

Vậy .

Chọn C.

Câu 2/7

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 x + 2 y - 2 z - 3 = 0$ và điểm $A (5; 3; - 2)$ . Một đường thẳng d thay đổi luôn đi qua A và luôn cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt $M, N$ .

Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S = A M + 4 A N$ .

A. $S_{\min} = 30$ .

S_{\min} = 20

S_{\min} = 5 \sqrt{34} - 9

S_{\min} = \sqrt{34} - 3

Lời giải

Media VietJack

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I (2; - 1; 1)$ , bán kính $R = \sqrt{2^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2} - (- 3)} = 3$ .

Ta có: $A I = \sqrt{{(2 - 5)}^{2} + {(- 1 - 3)}^{2} + {(1 + 2)}^{2}} = \sqrt{34} > R$ nên A nằm ngoài mặt cầu $(S)$ .

Ta lại có: $S = A M + 4 A N$ .

Đặt $A M = x, x \in [\sqrt{34} - 3; \sqrt{34} + 3]$ .

Mà $A M . A N = A I^{2} - R^{2} = 34 - 9 = 25 \Rightarrow A N = \frac{25}{A M}$ .

Do đó: $S = f (x) = x + \frac{100}{x}$ với $x \in [\sqrt{34} - 3; \sqrt{34} + 3]$ .

Ta có: $f^{'} (x) = 1 - \frac{100}{x^{2}} = \frac{x^{2} - 100}{x} < 0$ với $x \in [\sqrt{34} - 3; \sqrt{34} + 3]$ .

Do đó: $\min_{[\sqrt{34} - 3; \sqrt{34} + 3]} f (x) = f (\sqrt{34} + 3) = 5 \sqrt{34} - 9$ .

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow A, M, N, I$ thẳng hàng và $A M = \sqrt{34} + 3; A N = \sqrt{34} - 3$ .

Chọn C.

Câu 3/7

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(9,6,11), B(5,7,2) và điểm M di động trên mặt cầu $(S) : {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 36$ .

Giá trị nhỏ nhất của $A M + 2 M B$ bằng

A. $\sqrt{105}$ .

2 \sqrt{26}

2 \sqrt{29}

\sqrt{102}

Lời giải

Media VietJack

Mặt cầu $(S) : {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 36$ có tâm $I (1; 2; 3)$ và bán kính $R = 6$ .

Ta có $I A = 12 = 2 R$ .

Gọi E là giao điểm của IA và mặt cầu $(S)$ suy ra E là trung điểm của IA nên $E (5; 4; 7)$ .

Gọi F là trung điểm của IE suy ra $F (3; 3; 5)$ .

Xét $Δ M I F$ và $Δ A I M$ có $\hat{A I M}$ chung và $\frac{I F}{I M} = \frac{I M}{I A} = \frac{1}{2}$ .

Suy ra $Δ M I F Δ A I M (c.g.c) \Rightarrow \frac{M A}{M F} = \frac{A I}{M I} = 2 \Rightarrow M A = 2 M F$ .

Do đó $A M + 2 M B = 2 (M F + M B) \geq 2 B F = 2 \sqrt{29}$ (theo bất đẳng thức tam giác).

Dấu “=” xảy ra khi M là giao điểm FB và mặt cầu $(S)$ .

Chọn C.

Câu 4/7

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2,-2,4), B(-3,3,-1) và đường thẳng $d : \frac{x - 5}{2} = \frac{y - 2}{- 1} = \frac{z}{- 1}$ . Xét M là điểm thay đổi thuộc d, giá trị nhỏ nhất của $2 M A^{2} + 3 M B^{2}$ bằng

A. 14.

B. 160.

4 \sqrt{10}

D. 18.

Lời giải

Chọn B

Câu 5/7

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1,0,3), B(-3,1,3), C(1,5,1). Gọi $M (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ thuộc mặt phẳng tọa độ $(O x y)$ sao cho biểu thức $T = 2 |\vec{M A}| + |\vec{M B} + \vec{M C}|$ có giá trị nhỏ nhất. Giá trị của $x_{0} - y_{0}$ bằng

A. $x_{0} - y_{0} = - \frac{8}{5}$ .

x_{0} - y_{0} = \frac{8}{5}

x_{0} - y_{0} = - 2

x_{0} - y_{0} = 2

Lời giải

Chọn C

Câu 6/7

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1,2,-3),B(-2,-2,1) và mặt phẳng $(α)$ có phương trình $2 x + 2 y - z + 9 = 0$ . Gọi M là điểm thay đổi trên mặt phẳng $(α)$ sao cho M luôn nhìn đoạn AB dưới một góc vuông. Xác định phương trình đường thẳng MB khi MB đạt giá trị lớn nhất.

A. $\{\begin{cases} x = - 2 - t \\ y = - 2 + 2 t \\ z = 1 + 2 t \end{cases}$ .

\{\begin{cases} x = - 2 + 2 t \\ y = - 2 - t \\ z = 1 + 2 t \end{cases}

\{\begin{cases} x = - 2 + t \\ y = - 2 \\ z = 1 + 2 t \end{cases}

\{\begin{cases} x = - 2 + t \\ y = - 2 - t \\ z = 1 \end{cases}

Lời giải

Chọn C

Câu 7/7

Cho mặt cầu $(S) : {(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 9$ và hai điểm $A (1; 1; 3), B (21; 9; - 13)$ .

Điểm $M (a; b; c)$ thuộc mặt cầu $(S)$ sao cho $3 M A^{2} + M B^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Khi đó giá trị của biểu thức $T = a . b . c$ bằng

A. 3.

B. 8.

C. 6.

- 18

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem tiếp với tài khoản VIP

Còn 1/7 câu hỏi, đáp án và lời giải chi tiết.

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Ôn vào 10

Ôn vào 6

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Toán

Toán

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Khoa học tự nhiên

Tin học

Lịch sử

Địa lí

Toán

Toán

Toán

Toán

Tiếng Việt

Tiếng Anh

87 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 3 Dạng 5: Một số bài toán cực trị có đáp án

🔥 Học sinh cũng đã học

10000 câu trắc nghiệm tổng hợp Toán 2026 có đáp án - Phần 3

Trắc nghiệm Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes lớp 12 (có đáp án - phần 2)

Trắc nghiệm Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes lớp 12 (có đúng sai, trả lời ngắn)

Trắc nghiệm Xác suất có điều kiện lớp 12 (có đáp án - phần 2)

Trắc nghiệm Xác suất có điều kiện lớp 12 (có đúng sai, trả lời ngắn)

Trắc nghiệm Phương trình mặt cầu lớp 12 (có đáp án - phần 4)

Trắc nghiệm Phương trình mặt cầu lớp 12 (có đáp án - phần 3)

Trắc nghiệm Phương trình mặt cầu lớp 12 (có đáp án - phần 2)

Danh sách câu hỏi:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm M(-2,-2,1), A(1,2,-3) và đường thẳng d:x+12=y−52=z−1.Tìm một vectơ chỉ phương u→ của đường thẳng D đi qua , vuông góc với đường thẳng đồng thời cách điểm một khoảng bé nhất.

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình x2+y2+z2−4x+2y−2z−3=0 và điểm A5;3;−2 . Một đường thẳng d thay đổi luôn đi qua A và luôn cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt M,N . Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức S=AM+4AN .

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(9,6,11), B(5,7,2) và điểm M di động trên mặt cầu S:x−12+y−22+z−32=36 . Giá trị nhỏ nhất của AM+2MB bằng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2,-2,4), B(-3,3,-1) và đường thẳng d:x−52=y−2−1=z−1 . Xét M là điểm thay đổi thuộc d, giá trị nhỏ nhất của 2MA2+3MB2 bằng

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1,0,3), B(-3,1,3), C(1,5,1). Gọi Mx0;y0;z0 thuộc mặt phẳng tọa độ Oxy sao cho biểu thức T=2MA→+MB→+MC→ có giá trị nhỏ nhất. Giá trị của x0−y0 bằng

Cho mặt cầu S:x−22+y−12+z−32=9 và hai điểm A1;1;3,B21;9;−13 . Điểm Ma;b;c thuộc mặt cầu S sao cho 3MA2+MB2 đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó giá trị của biểu thức T=a.b.c bằng

Xem tiếp với tài khoản VIP

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(9,6,11), B(5,7,2) và điểm M di động trên mặt cầu $(S) : {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 36$ .

Giá trị nhỏ nhất của $A M + 2 M B$ bằng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2,-2,4), B(-3,3,-1) và đường thẳng $d : \frac{x - 5}{2} = \frac{y - 2}{- 1} = \frac{z}{- 1}$ . Xét M là điểm thay đổi thuộc d, giá trị nhỏ nhất của $2 M A^{2} + 3 M B^{2}$ bằng

Cho mặt cầu $(S) : {(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 9$ và hai điểm $A (1; 1; 3), B (21; 9; - 13)$ .

Điểm $M (a; b; c)$ thuộc mặt cầu $(S)$ sao cho $3 M A^{2} + M B^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Khi đó giá trị của biểu thức $T = a . b . c$ bằng