Tính tổng \[S = C_{2018}^0 + \frac{1}{2}C_{2018}^1 + \frac{1}{3}C_{2018}^2 + ... + \frac{1}{{2018}}C_{2018}^{2017} + \frac{1}{{2019}}C_{2018}^{2018}\]

Đáp án C

Phương pháp:

Tính tổng 2019S bằng cách nhận xét số hạng tổng quát của tổng này

Cách giải:

Ta có: \[S = C_{2018}^0 + \frac{1}{2}C_{2018}^1 + \frac{1}{3}C_{2018}^2 + ... + \frac{1}{{2018}}C_{2018}^{2017} + \frac{1}{{2019}}C_{2018}^{2018} = \sum\limits_{K = 0}^{2018} {\frac{1}{{k + 1}}C_{2018}^k} \]

\[ \Rightarrow 2019S = \sum\limits_{k = 0}^{2018} {\frac{{2019}}{{k + 1}}} C_{2018}^k = \sum\limits_{k = 0}^{2018} {\frac{{2019}}{{k + 1}}} .\frac{{2018!}}{{k!\left( {2018 - k} \right)!}} = \sum\limits_{k = 0}^{2018} {\frac{{2019!}}{{\left( {k + 1} \right)!\left( {2019 - \left( {k + 1} \right)} \right)!}}} = \sum\limits_{k = 0}^{2018} {C_{2019}^{k + 1}} \]

\[ = C_{2019}^1 + C_{2019}^2 + ... + C_{2019}^{2019} \Rightarrow 2019S + C_{2019}^0 + C_{2019}^1 + C_{2019}^2 + ... + C_{2019}^{2019} = {2^{2019}}\]

\[ \Rightarrow 2019 = {2^{2019}} - C_{2019}^0 = {2^{2019}} - 1 \Rightarrow S = \frac{{{2^{2019}} - 1}}{{2019}}\]