Câu hỏi:

01/02/2023 448

Giá trị nhỏ nhất của hàm số \[y = 2{\cos ^2}x + \sin 2x\] là

A. \[2\sqrt 2 \]

B. \[1 - \sqrt 2 \]

C. \[1 + \sqrt 2 \]

D. 3

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ 20 đề thi học kì 1 Toán 11 năm 2022 - 2023 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án B

Phương pháp:

Sử dụng công thức \[{\cos ^2}x = \frac{{1 + \cos 2x}}{2}\] và \[\cos \left( {a + b} \right) = \cos a.\cos b - \sin a\sin b\]

Sử dụng \[ - 1 \le \cos \le 1\]

Cách giải:

Ta có \[y = 2{\cos ^2}x + \sin 2x = 2.\frac{{1 + \cos 2x}}{2} + \sin 2x = 1 + \cos 2x + \sin 2x\]

\[ \Rightarrow \frac{y}{{\sqrt 2 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 2 }}\cos 2x + \frac{1}{{\sqrt 2 }}\sin 2x = \frac{1}{{\sqrt 2 }} + \cos 2x\cos \frac{\pi }{4} + \sin 2x.\sin \frac{\pi }{4} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} + \cos \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right)\]

Ta có \[\cos \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) \ge - 1 \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt 2 }} + \cos \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) \ge - 1 + \frac{1}{{\sqrt 2 }}\]

Hay \[\frac{y}{{\sqrt 2 }} \ge - 1 + \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow y \ge 1 - \sqrt 2 \]

Dấu “=” xảy ra khi \[\cos \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) = - 1 \Leftrightarrow 2x - \frac{\pi }{4} = - \pi + k2\pi \Leftrightarrow x = \frac{{ - 3\pi }}{8} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\]

Vậy giá trị nhỏ nhất của y là \[1 - \sqrt 2 \].

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho 100 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 100, chọn ngẫu nhiên 3 tấm thẻ. Xác suất để chọn được 3 tấm thẻ có tổng các số ghi trên thẻ là số chia hết cho 2 là

A. \[P = \frac{3}{4}\]

B. \[P = \frac{5}{6}\]

C. \[P = \frac{1}{2}\]

D. \[P = \frac{5}{7}\]

Lời giải

Đáp án C

Phương pháp:

- Tính số phần tử của không gian mẫu \[n\left( \Omega \right)\]

- Tính số khả năng có lợi cho biến cố.

- Tính xác suất theo công thức \[P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}}\]

Cách giải:

Số phần tử của không gian mẫu: \[n\left( \Omega \right) = C_{100}^3\]

Gọi A là biến cố “chọn được 3 tấm thẻ có tổng các số ghi trên thẻ là số chia hết cho 2”

TH1: Chọn được cả 3 tấm thẻ mang số chẵn. Khi đó có \[C_{50}^3\] cách chọn

TH2: Chọn được hai tấm thẻ mang số lẻ và một tấm thẻ mang số chẵn. Khi đó có \[C_{50}^2C_{50}^1\] cách chọn

Số phần tử của biến cố A là \[n\left( A \right) = C_{50}^3 + C_{50}^2C_{50}^1\]

Xác suất cần tìm là \[P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{C_{50}^3 + C_{50}^2C_{50}^1}}{{C_{100}^3}} = \frac{1}{2}\]

Câu 2

Nghiệm của phương trình \[2\cos x + 1 = 0\] là

A. \[\left[ \begin{array}{l}x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\x = - \frac{\pi }{3} + k\pi \end{array} \right.,\,\,k \in \mathbb{Z}\]

B. \[\left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.,\,\,k \in \mathbb{Z}\]

C. \[x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\]

D. \[x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\]

Lời giải

Đáp án D

Phương pháp:

Biến đổi phương trình về dạng \[\cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow x = \pm \alpha + k2\pi \]

Cách giải:

Ta có: \[2\cos x + 1 = 0 \Leftrightarrow \cos x = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \cos x = \cos \frac{{2\pi }}{3} \Leftrightarrow x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \].

Câu 3