Câu hỏi:
12/07/2024 465Cho n là số nguyên dương chẵn bất kì, chứng minh
\[\frac{1}{{1!\left( {n - 1} \right)!}} + \frac{1}{{3!\left( {n - 3} \right)!}} + \frac{1}{{5!\left( {n - 5} \right)!}} + ... + \frac{1}{{\left( {n - 1} \right)!1!}} = \frac{{{2^{n - 1}}}}{{n!}}\]
Câu hỏi trong đề: Bộ 20 đề thi học kì 1 Toán 11 năm 2022 - 2023 có đáp án !!
Bắt đầu thiQuảng cáo
Trả lời:
Phương pháp:
Sử dụng khai triển\[{\left( {x + 1} \right)^n}\], thay \[x = 1\]và\[x = - 1.\]
Cách giải:
\[\frac{1}{{1!\left( {n - 1} \right)!}} + \frac{1}{{3!\left( {n - 3} \right)!}} + \frac{1}{{5!\left( {n - 5} \right)!}} + ... + \frac{1}{{\left( {n - 1} \right)!1!}} = \frac{{{2^{n - 1}}}}{{n!}}\]
\[ \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{1!\left( {n - 1} \right)!}} + \frac{{n!}}{{3!\left( {n - 3} \right)!}} + \frac{{n!}}{{5!\left( {n - 5} \right)!}} + ... + \frac{{n!}}{{\left( {n - 1} \right)!1!}} = {2^{n - 1}}\]
\[ \Leftrightarrow C_n^1 + C_n^3 + C_n^5 + ... + C_n^{n - 1} = {2^{n - 1}}\]
Xét khai triển\[{\left( {x + 1} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{x^k}.} \]
Thay \[x = 1\]ta có\[{\left( {1 + 1} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} \Leftrightarrow {2^n} = C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + ... + C_n^{n - 1} + C_n^n\,\,\,\left( 1 \right).\]
Thay \[x = - 1\]ta có\[{\left( { - 1 + 1} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} {\left( { - 1} \right)^k} \Leftrightarrow 0 = C_n^0 - C_n^1 + C_n^2 + ... - C_n^{n - 1} + C_n^n\,\,\,\left( 2 \right)\]
Trừ vế theo vế của (1) và (2) ta có\[{2^n} = 2\left( {C_n^1 + C_n^3 + ... + C_n^{n - 1}} \right) \Leftrightarrow C_n^1 + C_n^3 + ... + C_n^{n - 1} = {2^{n - 1}}.\]Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Câu 2:
Câu 3:
Câu 4:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N, I lần lượt là trung điểm của SA, SB, BC; điểm G nằm giữa S và I sao cho\[\frac{{SG}}{{SI}} = \frac{3}{5}\].
a) Tìm giao điểm của đường thẳng MG và mặt phẳng (ABCD).
b) Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (MNG).
Câu 5:
Câu 6:
Câu 7:
10 Bài tập Nhận biết góc phẳng của góc nhị diện và tính góc phẳng nhị diện (có lời giải)
Bài tập Hình học không gian lớp 11 cơ bản, nâng cao có lời giải (P11)
10 Bài tập Biến cố hợp. Biến cố giao (có lời giải)
38 câu trắc nghiệm Toán 11 Kết nối tri thức Lôgarit có đáp án
10 Bài tập Nhận biết góc phẳng của góc nhị diện và tính góc phẳng nhị diện (có lời giải)
100 câu trắc nghiệm Đạo hàm cơ bản (P1)
15 câu Trắc nghiệm Khoảng cách có đáp án (Nhận biết)
10 Bài tập Bài toán thực tiễn liên quan đến thể tích (có lời giải)
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận