Câu hỏi:
12/07/2024 306
Cho n là số nguyên dương chẵn bất kì, chứng minh
\[\frac{1}{{1!\left( {n - 1} \right)!}} + \frac{1}{{3!\left( {n - 3} \right)!}} + \frac{1}{{5!\left( {n - 5} \right)!}} + ... + \frac{1}{{\left( {n - 1} \right)!1!}} = \frac{{{2^{n - 1}}}}{{n!}}\]
Cho n là số nguyên dương chẵn bất kì, chứng minh
\[\frac{1}{{1!\left( {n - 1} \right)!}} + \frac{1}{{3!\left( {n - 3} \right)!}} + \frac{1}{{5!\left( {n - 5} \right)!}} + ... + \frac{1}{{\left( {n - 1} \right)!1!}} = \frac{{{2^{n - 1}}}}{{n!}}\]
Câu hỏi trong đề:
Bộ 20 đề thi học kì 1 Toán 11 năm 2022 - 2023 có đáp án !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Phương pháp:
Sử dụng khai triển\[{\left( {x + 1} \right)^n}\], thay \[x = 1\]và\[x = - 1.\]
Cách giải:
\[\frac{1}{{1!\left( {n - 1} \right)!}} + \frac{1}{{3!\left( {n - 3} \right)!}} + \frac{1}{{5!\left( {n - 5} \right)!}} + ... + \frac{1}{{\left( {n - 1} \right)!1!}} = \frac{{{2^{n - 1}}}}{{n!}}\]
\[ \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{1!\left( {n - 1} \right)!}} + \frac{{n!}}{{3!\left( {n - 3} \right)!}} + \frac{{n!}}{{5!\left( {n - 5} \right)!}} + ... + \frac{{n!}}{{\left( {n - 1} \right)!1!}} = {2^{n - 1}}\]
\[ \Leftrightarrow C_n^1 + C_n^3 + C_n^5 + ... + C_n^{n - 1} = {2^{n - 1}}\]
Xét khai triển\[{\left( {x + 1} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{x^k}.} \]
Thay \[x = 1\]ta có\[{\left( {1 + 1} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} \Leftrightarrow {2^n} = C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + ... + C_n^{n - 1} + C_n^n\,\,\,\left( 1 \right).\]
Thay \[x = - 1\]ta có\[{\left( { - 1 + 1} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} {\left( { - 1} \right)^k} \Leftrightarrow 0 = C_n^0 - C_n^1 + C_n^2 + ... - C_n^{n - 1} + C_n^n\,\,\,\left( 2 \right)\]
Trừ vế theo vế của (1) và (2) ta có\[{2^n} = 2\left( {C_n^1 + C_n^3 + ... + C_n^{n - 1}} \right) \Leftrightarrow C_n^1 + C_n^3 + ... + C_n^{n - 1} = {2^{n - 1}}.\]Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số\(y = \cos 2x\)trên đoạn\(\left[ { - \frac{\pi }{3};\frac{\pi }{6}} \right].\)Tính giá trị biểu thức\(T = M - 2m.\)
Xem đáp án »
01/02/2023
14,306
Câu 2:
Cho hình chóp S.ABCD, biết AC cắt BD tại M, AB cắt CD tại O. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) .
Xem đáp án »
01/02/2023
11,553
Câu 3:
b) Một hộp đựng tám thẻ được ghi từ 1 đến 8. Lấy ngẫu nhiên từ hộp đó ba thẻ, tính xác suất để tổng các số ghi trên ba thẻ đó bằng 11.
Xem đáp án »
13/07/2024
7,461
Câu 4:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N, I lần lượt là trung điểm của SA, SB, BC; điểm G nằm giữa S và I sao cho\[\frac{{SG}}{{SI}} = \frac{3}{5}\].
a) Tìm giao điểm của đường thẳng MG và mặt phẳng (ABCD).
b) Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (MNG).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N, I lần lượt là trung điểm của SA, SB, BC; điểm G nằm giữa S và I sao cho\[\frac{{SG}}{{SI}} = \frac{3}{5}\].
a) Tìm giao điểm của đường thẳng MG và mặt phẳng (ABCD).
b) Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (MNG).
Xem đáp án »
13/07/2024
6,465
Câu 5:
Hàm số nào sau đây đồng biến trên khoảng\[\left( {\frac{\pi }{2};\pi } \right)\]?
Xem đáp án »
01/02/2023
6,447
Câu 6:
Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AC và BC. Trên cạnh BD lấy điểm K sao cho BK = 2KD. Gọi F là giao điểm của AD với mặt phẳng (IJK). Tính tỉ số\[\frac{{FA}}{{FD}}.\]
Xem đáp án »
01/02/2023
6,299
Câu 7:
Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn trên\[\mathbb{R}\]?
Xem đáp án »
01/02/2023
5,881
về câu hỏi!