Câu hỏi:
02/02/2023 106
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) thỏa mãn \({u_1} = 6\) và \({u_{n + 1}} = \frac{1}{9}\left( {u_n^2 - {u_n} + 25} \right)\) với mọi số tự nhiên \(n \ge 1\). Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?
I) \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số không tăng, không giảm.
II) \(\frac{1}{{{u_1} + 4}} = \frac{1}{{{u_1} - 5}} - \frac{1}{{{u_2} - 5}}\)
III) \(\frac{1}{{{u_1} + 4}} + \frac{1}{{{u_2} + 4}} + ... + \frac{1}{{{u_{2018}} + 4}} = 1 - \frac{1}{{{u_{2019}} - 5}}\)
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) thỏa mãn \({u_1} = 6\) và \({u_{n + 1}} = \frac{1}{9}\left( {u_n^2 - {u_n} + 25} \right)\) với mọi số tự nhiên \(n \ge 1\). Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?
I) \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số không tăng, không giảm.
II) \(\frac{1}{{{u_1} + 4}} = \frac{1}{{{u_1} - 5}} - \frac{1}{{{u_2} - 5}}\)
III) \(\frac{1}{{{u_1} + 4}} + \frac{1}{{{u_2} + 4}} + ... + \frac{1}{{{u_{2018}} + 4}} = 1 - \frac{1}{{{u_{2019}} - 5}}\)
Đáp án chính xác
Câu hỏi trong đề:
Bộ 20 đề thi học kì 1 Toán 11 năm 2022 - 2023 có đáp án !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án B
Phương pháp:
Xét tính đúng sai của từng mệnh đề bằng cách sử dụng định nghĩa dãy số tăng, giảm, tính các số hạng đầu của dãy, nhận xét quy luật,...
Cách giải:
Mệnh đề (I): Xét \({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{1}{9}\left( {u_n^2 - {u_n} + 25} \right) - {u_n} = \frac{{u_n^2 - 10{u_n} + 25}}{9} = \frac{{{{\left( {{u_n} - 5} \right)}^2}}}{9} \ge 0,\,\forall {u_n}\)
\( \Rightarrow {u_{n + 1}} \ge {u_n},\,\forall n\) hay \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng \( \Rightarrow \) (I) sai.
Mệnh đề (II): Ta có: \({u_1} = 6,\,{u_2} = \frac{{55}}{9}\)
\( \Rightarrow \frac{1}{{{u_1} + 4}} = \frac{1}{{6 + 4}} = \frac{1}{{10}}\) và \(\frac{1}{{{u_1} - 5}} - \frac{1}{{{u_2} - 5}} = \frac{1}{{6 - 5}} - \frac{1}{{\frac{{55}}{9} - 5}} = \frac{1}{{10}}\)
\( \Rightarrow \frac{1}{{{u_1} + 4}} = \frac{1}{{{u_1} - 5}} - \frac{1}{{{u_2} - 5}}\) hay (II) đúng.
Mệnh đề (III): Ta có: \({u_{n + 1}} - 5 = \frac{1}{9}\left( {u_n^2 - {u_n} + 25} \right) - 5 = \frac{{u_n^2 - {u_n} - 20}}{9} = \frac{{\left( {{u_n} - 5} \right)\left( {{u_n} + 4} \right)}}{9}\)
\( \Rightarrow \frac{1}{{{u_{n + 1}} - 5}} = \frac{9}{{\left( {{u_n} - 5} \right)\left( {{u_n} + 4} \right)}} = \frac{1}{{{u_n} - 5}} - \frac{1}{{{u_n} + 4}} \Rightarrow \frac{1}{{{u_n} + 4}} = \frac{1}{{{u_n} - 5}} - \frac{1}{{{u_{n + 1}} - 5}}\)
\( \Rightarrow \frac{1}{{{u_1} + 4}} + \frac{1}{{{u_2} + 4}} + ... + \frac{1}{{{u_{2018}} + 4}} = \frac{1}{{{u_1} - 5}} - \frac{1}{{{u_2} - 5}} + \frac{1}{{{u_2} - 5}} - \frac{1}{{{u_3} - 5}} + ... + \frac{1}{{{u_{2018}} - 5}} - \frac{1}{{{u_{2019}} - 5}}\)
\( = \frac{1}{{{u_1} - 5}} - \frac{1}{{{u_{2019}} - 5}} = \frac{1}{{6 - 5}} - \frac{1}{{{u_{2019}} - 5}} = 1 - \frac{1}{{{u_{2019}} - 5}}\)
Nên (III) đúng.
Vậy (I) sai và (II), (III) đúng.
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) biết \({u_n} = {2^n}\). Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?
Xem đáp án »
02/02/2023
7,246
Câu 2:
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_1} = 2,\,{u_2} = 3\) và \({u_{n + 1}} = 2{u_n} + {u_{n - 1}}\) với mọi \(n \ge 2,\,n \in \mathbb{N}\). Tìm số hạng thứ tư của dãy số đó.
Xem đáp án »
02/02/2023
3,772
Câu 3:
Trong không gian cho các đường thẳng \(a,\,b\) và các mặt phẳng \(\left( \alpha \right),\,\left( \beta \right)\). Trong các khẳng định sau đây, đâu là khẳng định đúng?
Xem đáp án »
02/02/2023
3,753
Câu 4:
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}{u_4} = 7{u_1}\\{S_5} = 75\end{array} \right.\). Tìm số hạng thứ hai của cấp số cộng này.
Xem đáp án »
02/02/2023
3,717
Câu 5:
Trong một trò chơi, người chơi cần gieo cùng lúc ba con súc sắc cân đối, đồng chất; nếu được ít nhất hai con súc sắc xuất hiện mặt có số chấm lớn hơn 4 thì người chơi đó thắng. Tính xác suất để trong ba lần chơi, người chơi thắng ít nhất một lần.
Xem đáp án »
02/02/2023
3,041
Câu 6:
Trong một cấp số nhân gồm các số hạng dương, hiệu của số hạng thứ năm và số hạng thứ tư là 576, hiệu của số hạng thứ hai và số hạng đầu tiên là 9. Tìm tổng \({S_3}\) của 3 số hạng đầu của cấp số nhân này.
Xem đáp án »
02/02/2023
2,114
Câu 7:
Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số được lập thành từ các chữ số 0, 2, 4, 6, 8, 9?
Xem đáp án »
02/02/2023
1,987
về câu hỏi!