Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) thỏa mãn \({u_1} = 6\) và \({u_{n + 1}} = \frac{1}{9}\left( {u_n^2 - {u_n} + 25} \right)\) với mọi số tự nhiên \(n \ge 1\). Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?

I) \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số không tăng, không giảm.

II) \(\frac{1}{{{u_1} + 4}} = \frac{1}{{{u_1} - 5}} - \frac{1}{{{u_2} - 5}}\)

III) \(\frac{1}{{{u_1} + 4}} + \frac{1}{{{u_2} + 4}} + ... + \frac{1}{{{u_{2018}} + 4}} = 1 - \frac{1}{{{u_{2019}} - 5}}\)

Đáp án B

Phương pháp:

Xét tính đúng sai của từng mệnh đề bằng cách sử dụng định nghĩa dãy số tăng, giảm, tính các số hạng đầu của dãy, nhận xét quy luật,...

Cách giải:

Mệnh đề (I): Xét \({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{1}{9}\left( {u_n^2 - {u_n} + 25} \right) - {u_n} = \frac{{u_n^2 - 10{u_n} + 25}}{9} = \frac{{{{\left( {{u_n} - 5} \right)}^2}}}{9} \ge 0,\,\forall {u_n}\)

\( \Rightarrow {u_{n + 1}} \ge {u_n},\,\forall n\) hay \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng \( \Rightarrow \) (I) sai.

Mệnh đề (II): Ta có: \({u_1} = 6,\,{u_2} = \frac{{55}}{9}\)

\( \Rightarrow \frac{1}{{{u_1} + 4}} = \frac{1}{{6 + 4}} = \frac{1}{{10}}\) và \(\frac{1}{{{u_1} - 5}} - \frac{1}{{{u_2} - 5}} = \frac{1}{{6 - 5}} - \frac{1}{{\frac{{55}}{9} - 5}} = \frac{1}{{10}}\)

\( \Rightarrow \frac{1}{{{u_1} + 4}} = \frac{1}{{{u_1} - 5}} - \frac{1}{{{u_2} - 5}}\) hay (II) đúng.

Mệnh đề (III): Ta có: \({u_{n + 1}} - 5 = \frac{1}{9}\left( {u_n^2 - {u_n} + 25} \right) - 5 = \frac{{u_n^2 - {u_n} - 20}}{9} = \frac{{\left( {{u_n} - 5} \right)\left( {{u_n} + 4} \right)}}{9}\)

\( \Rightarrow \frac{1}{{{u_{n + 1}} - 5}} = \frac{9}{{\left( {{u_n} - 5} \right)\left( {{u_n} + 4} \right)}} = \frac{1}{{{u_n} - 5}} - \frac{1}{{{u_n} + 4}} \Rightarrow \frac{1}{{{u_n} + 4}} = \frac{1}{{{u_n} - 5}} - \frac{1}{{{u_{n + 1}} - 5}}\)

\( \Rightarrow \frac{1}{{{u_1} + 4}} + \frac{1}{{{u_2} + 4}} + ... + \frac{1}{{{u_{2018}} + 4}} = \frac{1}{{{u_1} - 5}} - \frac{1}{{{u_2} - 5}} + \frac{1}{{{u_2} - 5}} - \frac{1}{{{u_3} - 5}} + ... + \frac{1}{{{u_{2018}} - 5}} - \frac{1}{{{u_{2019}} - 5}}\)

\( = \frac{1}{{{u_1} - 5}} - \frac{1}{{{u_{2019}} - 5}} = \frac{1}{{6 - 5}} - \frac{1}{{{u_{2019}} - 5}} = 1 - \frac{1}{{{u_{2019}} - 5}}\)

Nên (III) đúng.

Vậy (I) sai và (II), (III) đúng.