Một hộp có chứa 4 quả cầu màu đỏ, 5 quả cầu màu xanh và 7 quả cầu màu vàng. Lấy ngẫu nhiên cùng lúc ra 4 quả cầu từ hộp đó. Tính xác suất sao cho 4 quả cầu được lấy ra có đúng 1 quả cầu màu đỏ và không quá 2 quả cầu màu vàng.

Phương pháp:

- Đếm các số chẵn có 5 chữ số khác nhau mà có đúng hai chữ số lẻ.

- Đếm các số chẵn có 5 chữ số khác nhau mà có hai chữ số lẻ đứng cạnh nhau.

- Trừ các kết quả cho nhau ta được đáp số.

Cách giải:

Gọi số có năm chữ số có dạng \[\overline {abcde} \].

TH1: \[e = 0\] có 1 cách chọn.

Chọn 2 chữ số lẻ và 2 chữ số chẵn và xếp vị trí cho chúng có \[C_5^2.C_4^2.4!\] cách chọn.

Do đó có \[C_5^2.C_4^2.4!\] số.

TH2: \[e \in \left\{ {2;4;6;8} \right\}\] có 4 cách chọn.

+) Nếu \[a\] chẵn, \[a \ne 0,{\rm{ }}a \ne e\] thì có 3 cách chọn.

Số cách chọn 3 chữ số còn lại (1 chữ số chẵn và 2 chữ số lẻ) và xếp vị trí cho chúng là \[C_3^1.C_5^2.3!\] cách chọn.

Do đó có \[3.C_3^1.C_5^2.3!\] số.

+) Nếu \[a\] lẻ thì có 5 cách chọn.

Số cách chọn 3 chữ số còn lại (2 chữ số chẵn và 1 chữ số lẻ) và xếp vị trí cho chúng là \[C_4^2.C_4^1.3!\] cách chọn.

Do đó có \[5.C_4^2.C_4^1.3!\] số.

Khi đó số các số chẵn có 5 chữ số khác nhau mà chỉ có đúng 2 chữ số lẻ là

\[C_5^2.C_4^2.4! + 4.\left( {3.C_3^1.C_5^2.3! + 5.C_4^2.C_4^1.3!} \right) = 6480\] số.

Ta tính các số chẵn có 5 chữ số khác nhau chỉ có 2 chữ số lẻ mà chúng đứng cạnh nhau.

Coi hai chữ số lẻ đứng cạnh nhau là một chữ số \[A\], có \[A_5^2\] cách chọn và sắp xếp vị trí của hai chữ số trong \[A\].

Số có dạng \[\overline {abcd} \] với \[a,b,c,d \in \left\{ {A;0;2;4;6;8} \right\}\].

+) Nếu \[a = A\] thì có \[A_5^3\] cách chọn \[b,c,d\].

+) Nếu \[a \ne A,{\rm{ }}a \ne 0\] thì có 4 cách chọn.

\[A\] có thể đứng ở bị trí \[b\] hoặc \[c\] nên có 2 cách xếp.

Có \[A_4^2\] cách chọn và sắp xếp hai chữ số còn lại.

Do đó có \[A_5^2\left( {A_5^3 + 4.2.A_4^2} \right) = 3120\]

Vậy có \[6480 - 3120 = 3360\] số.

Phương pháp:

a) Sử dụng định lí ba giao tuyến song song: \[\left\{ \begin{array}{l}\left( \alpha \right) \cap \left( \beta \right) = {d_1}\\\left( \beta \right) \cap \left( \gamma \right) = {d_2}\\\left( \alpha \right) \cap \left( \gamma \right) = {d_3}\\{d_1}//{d_2}\end{array} \right. \Rightarrow {d_3}//{d_1}//{d_2}\].

Cách giải:

1) Tìm giao tuyến của mặt phẳng \[\left( {SAD} \right)\] và mặt phẳng \[\left( {GBC} \right)\]. Tìm giao điểm \[H\] của đường thẳng \[BC\] với mặt phẳng \[\left( {SGM} \right)\].

Dễ thấy \[G \in \left( {GBC} \right) \cap \left( {SAD} \right)\].

Xét các mặt phẳng: \[\left( {GBC} \right),{\rm{ }}\left( {SAD} \right),{\rm{ }}\left( {ABCD} \right)\] có:

\[\left\{ \begin{array}{l}\left( {GBC} \right) \cap \left( {SAD} \right) = Gx\\\left( {SAD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AD\\\left( {ABCD} \right) \cap \left( {GBC} \right) = BC\\BC//AD\end{array} \right. \Rightarrow Gx//AB//CD\]

Vậy \[\left( {SAD} \right) \cap \left( {GBC} \right) = Gx\] là đường thẳng đi qua \[G\] và song song \[AD\].

Gọi \[I\] là trung điểm \[AD\], khi đó \[\left( {SGM} \right) \equiv \left( {SIM} \right)\].

Trong \[\left( {ABCD} \right)\], gọi \[H = IM \cap BC \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}H \in IM \subset \left( {SIM} \right)\\H \in BC\end{array} \right. \Rightarrow H = BC \cap \left( {SMG} \right)\].