Bộ 20 đề thi học kì 1 Toán 11 năm 2022

Thi Online Bộ 20 đề thi học kì 1 Toán 11 năm 2022 - 2023 có đáp án

Bộ 20 đề thi học kì 1 Toán 11 năm 2022 - 2023 có đáp án (Đề 14)

4282 lượt thi
10 câu hỏi
90 phút

Câu 1:

Giải phương trình lượng giác sau: \[{\sin ^2}\left( {\frac{x}{2}} \right) - 2{\cos ^2}\left( {\frac{x}{4}} \right) + \frac{3}{4} = 0\].

Phương pháp:

Sử dụng công thức hạ bậc \[{\sin ^2}\alpha = \frac{{1 - \cos 2\alpha }}{2};{\rm{ }}{\cos ^2}\alpha = \frac{{1 + \cos 2\alpha }}{2}\]

Cách giải:

\[{\sin ^2}\left( {\frac{x}{2}} \right) - 2{\cos ^2}\left( {\frac{x}{4}} \right) + \frac{3}{4} = 0\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{1 - \cos x}}{2} - 2.\frac{{1 + \cos \frac{x}{2}}}{2} + \frac{3}{4} = 0 \Leftrightarrow 2 - 2\cos x - 4 - 4\cos \frac{x}{2} + 3 = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left( {2\cos x - 1} \right) + 4\cos \frac{x}{2} = 0 \Leftrightarrow {\cos ^2}\frac{x}{2} + 4\cos \frac{x}{2} = 0 \Leftrightarrow \cos \frac{x}{2}\left( {\cos \frac{x}{2} + 4} \right) = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos \frac{x}{2} = 0\\\cos \frac{x}{2} + 4 = 0\left( {VN} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{x}{2} = \frac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi \]

Vậy phương trình có nghiệm \[x = \pi + k2\pi ,{\rm{ }}k \in \mathbb{Z}\].

Câu 2:

Tìm số hạng không chứa \[x\] trong khai triển của biểu thức: \[{\left( {2{x^3} - \frac{2}{{{x^2}}}} \right)^5}\].

Xem đáp án

Phương pháp:

Sử dụng công thức tính số hạng tổng quát \[{T_{k + 1}} = C_n^k{a^{n - k}}{b^k}\].

Cách giải:

Số hạng tổng quát: \[{T_{k + 1}} = C_5^k.{\left( {3{x^3}} \right)^{5 - k}}.{\left( { - \frac{2}{{{x^2}}}} \right)^k} = C_5^k{.3^{5 - k}}.{x^{15 - 3k}}.\frac{{{{\left( { - 2} \right)}^k}}}{{{x^{2k}}}} = C_5^k{.3^{5 - k}}.{\left( { - 2} \right)^k}.{x^{15 - 5k}}\]

Số hạng không chứa \[x\] ứng với \[15 - 5k = 0 \Leftrightarrow k = 3\]

Vậy số không chứa \[x\] là: \[C_5^3{.3^{5 - 3}}.{\left( { - 2} \right)^3} = - 720\].

Câu 3:

Cho cấp số cộng \[\left( {{u_n}} \right)\] là một dãy số tăng thỏa mãn điều kiện \[\left\{ \begin{array}{l}{u_{31}} + {u_{34}} = 11\\u_{31}^2 + u_{34}^2 = 101\end{array} \right.\].

Tìm số hạng đầu tiên \[{u_1}\], công sai \[d\] và số hạng tổng quát của cấp số cộng đó.

Xem đáp án

Phương pháp:

Sử dụng công thức: \[{u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\].

Cách giải:

Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{u_{31}} + {u_{34}} = 11\\u_{31}^2 + u_{34}^2 = 101\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_{34}} = 11 - {u_{31}}\\u_{31}^2 + {\left( {11 - {u_{31}}} \right)^2} = 101\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_{34}} = 11 - {u_{31}}\\2u_{31}^2 - 22{u_{31}} + 121 = 101\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_{34}} = 11 - {u_{31}}\\2u_{31}^2 - 22{u_{31}} + 20 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_{34}} = 11 - {u_{31}}\\{u_{31}} = 2,{u_{31}} = 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{u_{31}} = 2,{u_{34}} = 9\\{u_{31}} = 10,{u_{34}} = 1\end{array} \right.\]

Mà dãy \[\left( {{u_n}} \right)\] tăng nên \[{u_{34}} > {u_{31}}\], do đó \[{u_{31}} = 2,{\rm{ }}{u_{34}} = 9\]

\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 30d = 2\\{u_1} + 33d = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}d = \frac{7}{3}\\{u_1} = - 68\end{array} \right.\]

Số hạng tổng quát \[{u_n} = - 68 + \frac{7}{3}\left( {n - 1} \right)\].

Vậy \[{u_1} = - 68,{\rm{ }}d = \frac{7}{3},{\rm{ }}{u_n} = - 68 + \frac{7}{3}\left( {n - 1} \right)\].

Câu 4:

Một hộp có chứa 4 quả cầu màu đỏ, 5 quả cầu màu xanh và 7 quả cầu màu vàng. Lấy ngẫu nhiên cùng lúc ra 4 quả cầu từ hộp đó. Tính xác suất sao cho 4 quả cầu được lấy ra có đúng 1 quả cầu màu đỏ và không quá 2 quả cầu màu vàng.

Xem đáp án

Phương pháp:

- Tính số phần tử không gian mẫu \[n\left( \Omega \right)\]

- Tính số khả năng có lợi cho biến cố \[A\] đã cho.

- Tính xác suất \[P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}}\].

Cách giải:

Chọn 4 trong 16 quả cầu, \[n\left( \Omega \right) = C_{16}^4 = 1820\].

Gọi \[A\] là biến cố: “Có đúng 1 quả cầu đỏ và không quá 2 quả cầu vàng”

TH1: Chọn được 1 quả cầu đỏ, 2 quả cầu vàng, 1 quả cầu xanh có \[C_4^1.C_7^2.C_5^1 = 420\] cách.

TH2: Chọn được 1 quả cầu đỏ, 1 quả cầu vàng, 2 quả cầu xanh có \[C_4^1.C_7^1.C_5^2 = 280\] cách.

TH3: Chọn được 1 quả cầu đỏ, 0 quả cầu vàng, 3 quả cầu xanh có \[C_4^1.C_7^0.C_5^3 = 40\] cách.

Do đó \[n\left( A \right) = 420 + 280 + 40 = 740\].

Xác suất \[P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{740}}{{1820}} = \frac{{37}}{{91}}\].

Câu 5:

Cho một cấp số cộng \[\left( {{u_n}} \right)\] có số hạng đầu tiên \[{u_1} = 1\] và tổng 100 số hạng đầu tiên bằng 24850. Tính \[S = \frac{1}{{{u_1}{u_2}}} + \frac{1}{{{u_2}{u_3}}} + \frac{1}{{{u_3}{u_4}}} + ... + \frac{1}{{{u_{49}}{u_{50}}}}\].

Xem đáp án

Phương pháp:

- Tìm CSC đã cho bằng cách sử dụng công thức \[{S_n} = \frac{{n\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]}}{2}\]

- Thay vào tổng đã cho tính toán.

Cách giải:

Ta có: \[24850 = {S_{100}} = \frac{{100\left( {2.1 + 99d} \right)}}{2} \Leftrightarrow d = 5\]

Khi đó \[{u_1} = 1,{\rm{ }}{u_2} = 6,{\rm{ }}{u_3} = 11,{\rm{ }}{u_4} = 16,...,{u_{49}} = {u_1} + 48d = 241,{\rm{ }}{u_{50}} = {u_1} + 49d = 246\]

\[ \Rightarrow S = \frac{1}{{{u_1}{u_2}}} + \frac{1}{{{u_2}{u_3}}} + ... + \frac{1}{{{u_{49}}{u_{50}}}} = \frac{1}{{1.6}} + \frac{1}{{6.11}} + \frac{1}{{11.16}} + ... + \frac{1}{{241.246}}\] \[ = \frac{1}{5}\left( {\frac{1}{1} - \frac{1}{6}} \right) + \frac{1}{5}\left( {\frac{1}{6} - \frac{1}{{11}}} \right) + ... + \frac{1}{5}\left( {\frac{1}{{241}} - \frac{1}{{246}}} \right)\]

\[ = \frac{1}{5}\left( {1 - \frac{1}{6} + \frac{1}{6} - \frac{1}{{11}} + ... + \frac{1}{{241}} - \frac{1}{{246}}} \right)\]

\[ = \frac{1}{5}\left( {1 - \frac{1}{{246}}} \right) = \frac{{49}}{{246}}\]

Vậy \[S = \frac{{49}}{{246}}\].

Bắt đầu thi để xem toàn bộ câu hỏi trong đề

Bài thi liên quan:

Các bài thi hot trong chương:

Đề thi Toán lớp 11 Học kì 1 có đáp án

( 8.2 K lượt thi )

Đề thi Toán 11 Học kì 1 có đáp án

( 5.2 K lượt thi )

Đề kiểm tra giữa học kì 1 Toán lớp 11 có đáp án (Mới nhất)

( 4.2 K lượt thi )

Bộ 20 đề thi giữa học kì 1 Toán 11 năm 2022 - 2023 có đáp án

( 3.8 K lượt thi )

Đề kiểm tra Giữa kì 2 Toán 11 có đáp án (Mới nhất)

( 8.4 K lượt thi )

Top 4 Đề thi Toán 11 Học kì 2 có đáp án

( 7.9 K lượt thi )

Đề thi Toán 11 Học kì 2 có đáp án

( 5.6 K lượt thi )

Đánh giá trung bình

Thi Online Bộ 20 đề thi học kì 1 Toán 11 năm 2022 - 2023 có đáp án