Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình bình hành tâm \[O\]. Gọi \[G\] là trọng tâm của tam giác \[SAD\]. Lấy điểm \[M\] thuộc cạnh \[AB\] sao cho \[AB = 3AM\].

Phương pháp:

a) Sử dụng định lí ba giao tuyến song song: \[\left\{ \begin{array}{l}\left( \alpha \right) \cap \left( \beta \right) = {d_1}\\\left( \beta \right) \cap \left( \gamma \right) = {d_2}\\\left( \alpha \right) \cap \left( \gamma \right) = {d_3}\\{d_1}//{d_2}\end{array} \right. \Rightarrow {d_3}//{d_1}//{d_2}\].

Cách giải:

1) Tìm giao tuyến của mặt phẳng \[\left( {SAD} \right)\] và mặt phẳng \[\left( {GBC} \right)\]. Tìm giao điểm \[H\] của đường thẳng \[BC\] với mặt phẳng \[\left( {SGM} \right)\].

Dễ thấy \[G \in \left( {GBC} \right) \cap \left( {SAD} \right)\].

Xét các mặt phẳng: \[\left( {GBC} \right),{\rm{ }}\left( {SAD} \right),{\rm{ }}\left( {ABCD} \right)\] có:

\[\left\{ \begin{array}{l}\left( {GBC} \right) \cap \left( {SAD} \right) = Gx\\\left( {SAD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AD\\\left( {ABCD} \right) \cap \left( {GBC} \right) = BC\\BC//AD\end{array} \right. \Rightarrow Gx//AB//CD\]

Vậy \[\left( {SAD} \right) \cap \left( {GBC} \right) = Gx\] là đường thẳng đi qua \[G\] và song song \[AD\].

Gọi \[I\] là trung điểm \[AD\], khi đó \[\left( {SGM} \right) \equiv \left( {SIM} \right)\].

Trong \[\left( {ABCD} \right)\], gọi \[H = IM \cap BC \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}H \in IM \subset \left( {SIM} \right)\\H \in BC\end{array} \right. \Rightarrow H = BC \cap \left( {SMG} \right)\].