Bộ 20 đề thi học kì 1 Toán 11 năm 2022 - 2023 có đáp án (Đề 17)

Đáp án C

Phương pháp:

Giải phương trình lượng giác cơ bản: \[\tan x = \tan \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\]

Cách giải:

\[\tan \frac{x}{4} = - 1 \Leftrightarrow \frac{x}{4} = \frac{{ - \pi }}{4} + k\pi \Leftrightarrow x = - \pi + 4k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\]

\[x \in \left[ {0;12\pi } \right] \Leftrightarrow 0 \le - \pi + 4k\pi \le 12\pi \Leftrightarrow \frac{1}{4} \le k \le \frac{{13}}{4}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Leftrightarrow k \in \left\{ {1;2;3} \right\}.\]

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm thuộc \[\left[ {0;12\pi } \right]\]

Đáp án A

Phương pháp:

+) Giải phương trình lượng giác cơ bản: \[\sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right),\] sau đó tìm các nghiệm thuộc \[\left[ {0;10\pi } \right]\] của phương trình.

+) Tính tổng các nghiệm: sử dụng công thức tổng n số hạng đầu tiên của CSC: \[{S_n} = \frac{{\left( {{u_1} + {u_n}} \right).n}}{2}.\]

Cách giải:

\[\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\]

\[x \in \left[ {0;10\pi } \right] \Leftrightarrow 0 \le k\pi \le 10\pi \Leftrightarrow 0 \le k \le 10 \Leftrightarrow k \in \left\{ {0;1;2;...;10} \right\}\]

Khi đó tổng các nghiệm thuộc \[\left[ {0;10\pi } \right]\] của phương trình trên là:

\[0 + \pi + 2\pi + 3\pi + ... + 10\pi = \left( {0 + 1 + 2 + ... + 10} \right)\pi = \frac{{10.11}}{2}\pi = 55\pi .\]

Đáp án C

Phương pháp:

Giải phương trình lượng giác cơ bản: \[\sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right),\] sau đó tìm các nghiệm thuộc \[x \in \left[ {0;2\pi } \right]\] của phương trình.

Cách giải:

\[\sin x = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\x = \frac{{3\pi }}{4} + l2\pi \end{array} \right.\left( {k,l \in \mathbb{Z}} \right).\]

Xét họ nghiệm \[x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \in \left[ {0;2\pi } \right]\] ta có: \[0 \le \frac{\pi }{4} + k2\pi \le 2\pi \Leftrightarrow - \frac{1}{8} \le k \le \frac{7}{8} \Leftrightarrow k = 0.\]

Xét họ nghiệm \[x = \frac{{3\pi }}{4} + l2\pi \in \left[ {0;2\pi } \right]\] ta có: \[0 \le \frac{{3\pi }}{4} + l2\pi \le 2\pi \Leftrightarrow - \frac{3}{8} \le l \le \frac{5}{8} \Leftrightarrow l = 0.\]

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm thuộc \[\left[ {0;2\pi } \right]\] là \[\frac{\pi }{4};\frac{{3\pi }}{4}.\]

Đáp án A

Phương pháp:

Phương trình dạng \[a\sin x + b\cos x = c\] có nghiệm \[ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} \ge {c^2}.\]

Cách giải:

Phương trình \[\sin x - \sqrt 3 m\cos x = 2m\] có nghiệm \[ \Leftrightarrow 1 + {\left( {\sqrt 3 m} \right)^2} \ge \left( {2{m^2}} \right) \Leftrightarrow {m^2} \le 1 \Leftrightarrow - 1 \le m \le 1.\]

Đáp án C

Phương pháp:

\[ - 1 \le \cos x \le 1{\rm{ }}\forall x \in \mathbb{R}.\]

Cách giải:

Ta có: \[ - 1 \le \cos x \le 1{\rm{ }}\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow - 1 \le {\left( {m - 1} \right)^2} \le 1 \Leftrightarrow {\left( {m - 1} \right)^2} \le 1 \Leftrightarrow - 1 \le m - 1 \le 1 \Leftrightarrow 0 \le m \le 2.\]

Chú ý: Những phương trình luôn đúng ta không giải, nhiều học sinh mắc sai lầm khi giải bất phương trình \[{\left( {m - 1} \right)^2} \ge - 1\] bằng phương pháp bình phương hai vế.