Cho cấp số cộng \[\left( {{u_n}} \right)\] là một dãy số tăng thỏa mãn điều kiện \[\left\{ \begin{array}{l}{u_{31}} + {u_{34}} = 11\\u_{31}^2 + u_{34}^2 = 101\end{array} \right.\].

 Tìm số hạng đầu tiên \[{u_1}\], công sai \[d\] và số hạng tổng quát của cấp số cộng đó.

Phương pháp:

- Tính số phần tử không gian mẫu \[n\left( \Omega \right)\]

- Tính số khả năng có lợi cho biến cố \[A\] đã cho.

- Tính xác suất \[P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}}\].

Cách giải:

Chọn 4 trong 16 quả cầu, \[n\left( \Omega \right) = C_{16}^4 = 1820\].

Gọi \[A\] là biến cố: “Có đúng 1 quả cầu đỏ và không quá 2 quả cầu vàng”

TH1: Chọn được 1 quả cầu đỏ, 2 quả cầu vàng, 1 quả cầu xanh có \[C_4^1.C_7^2.C_5^1 = 420\] cách.

TH2: Chọn được 1 quả cầu đỏ, 1 quả cầu vàng, 2 quả cầu xanh có \[C_4^1.C_7^1.C_5^2 = 280\] cách.

TH3: Chọn được 1 quả cầu đỏ, 0 quả cầu vàng, 3 quả cầu xanh có \[C_4^1.C_7^0.C_5^3 = 40\] cách.

Do đó \[n\left( A \right) = 420 + 280 + 40 = 740\].

Xác suất \[P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{740}}{{1820}} = \frac{{37}}{{91}}\].

Phương pháp:

- Đếm các số chẵn có 5 chữ số khác nhau mà có đúng hai chữ số lẻ.

- Đếm các số chẵn có 5 chữ số khác nhau mà có hai chữ số lẻ đứng cạnh nhau.

- Trừ các kết quả cho nhau ta được đáp số.

Cách giải:

Gọi số có năm chữ số có dạng \[\overline {abcde} \].

TH1: \[e = 0\] có 1 cách chọn.

Chọn 2 chữ số lẻ và 2 chữ số chẵn và xếp vị trí cho chúng có \[C_5^2.C_4^2.4!\] cách chọn.

Do đó có \[C_5^2.C_4^2.4!\] số.

TH2: \[e \in \left\{ {2;4;6;8} \right\}\] có 4 cách chọn.

+) Nếu \[a\] chẵn, \[a \ne 0,{\rm{ }}a \ne e\] thì có 3 cách chọn.

Số cách chọn 3 chữ số còn lại (1 chữ số chẵn và 2 chữ số lẻ) và xếp vị trí cho chúng là \[C_3^1.C_5^2.3!\] cách chọn.

Do đó có \[3.C_3^1.C_5^2.3!\] số.

+) Nếu \[a\] lẻ thì có 5 cách chọn.

Số cách chọn 3 chữ số còn lại (2 chữ số chẵn và 1 chữ số lẻ) và xếp vị trí cho chúng là \[C_4^2.C_4^1.3!\] cách chọn.

Do đó có \[5.C_4^2.C_4^1.3!\] số.

Khi đó số các số chẵn có 5 chữ số khác nhau mà chỉ có đúng 2 chữ số lẻ là

\[C_5^2.C_4^2.4! + 4.\left( {3.C_3^1.C_5^2.3! + 5.C_4^2.C_4^1.3!} \right) = 6480\] số.

Ta tính các số chẵn có 5 chữ số khác nhau chỉ có 2 chữ số lẻ mà chúng đứng cạnh nhau.

Coi hai chữ số lẻ đứng cạnh nhau là một chữ số \[A\], có \[A_5^2\] cách chọn và sắp xếp vị trí của hai chữ số trong \[A\].

Số có dạng \[\overline {abcd} \] với \[a,b,c,d \in \left\{ {A;0;2;4;6;8} \right\}\].

+) Nếu \[a = A\] thì có \[A_5^3\] cách chọn \[b,c,d\].

+) Nếu \[a \ne A,{\rm{ }}a \ne 0\] thì có 4 cách chọn.

\[A\] có thể đứng ở bị trí \[b\] hoặc \[c\] nên có 2 cách xếp.

Có \[A_4^2\] cách chọn và sắp xếp hai chữ số còn lại.

Do đó có \[A_5^2\left( {A_5^3 + 4.2.A_4^2} \right) = 3120\]

Vậy có \[6480 - 3120 = 3360\] số.