Một cột cờ vuông góc với mặt đất có bóng dài 12m, tia nắng của mặt trời tạo với mặt đất một góc là $35°$  (hình vẽ bên). Tính chiều cao của cột cờ.

Do $m\ne -1$  nên không mất tính tổng quát ta giả sử (d) cắt Ox và Oy như hình vẽ

Vì A là giao điểm của $\left(d\right)$  với Ox nên $A\left(x;0\right)\Rightarrow \left(m+1\right)x+2=0\Rightarrow x=-\frac{2}{m+1}$

Suy ra  $A\left(-\frac{2}{m+1};0\right)\Rightarrow OA=\frac{2}{\left|m+1\right|}$

Vì B là giao điểm của $\left(d\right)$  với Oy nên $B\left(0;y\right)\Rightarrow \left(m+1\right).0+2=y\Rightarrow y=2$

Suy ra $B\left(0;2\right)\Rightarrow OB=2$

Vì $\Delta OAB$  vuông tại O.

Khi đó: $S_{\Delta OAB}=\frac{1}{2}OA.OB=\frac{1}{2}.\frac{2}{\left|m+1\right|}.2=\frac{2}{\left|m+1\right|}$

Mà $S_{\Delta OAB}=2\iff \left|m+1\right|=1\iff \left[\begin{array}{l}m+1=1\\ m+1=-1\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}m=0\\ m=-2\end{array}\right.$  (thỏa mãn $m\ne -1$ )

Vậy $m=0$  hoặc $m=-2$  thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ta có: AC, BD là tiếp tuyến của  $\left(O\right)\Rightarrow AC\perp AB;BD\perp AB\Rightarrow AC\parallel BD$

Do đó: ABCD là hình thang vuông có AB là đường cao.

Khi đó ta có:  $S_{ABCD}=\frac{1}{2}AB\left(AC+BD\right)=\frac{1}{2}AB.CD=\frac{1}{2}AB\left(AC+BD\right)\stackrel{Co-si}{\ge }\frac{1}{2}AB\mathrm{.2.}\sqrt{AC.BD}=2R^2$

(do theo câu b) ta có $CD=AC+BD$  và theo câu c) ta có $AC.BD=R^2$ )

Nên $\min S_{ABCD}=2R^2\iff CD=AB\iff CD\parallel AB\iff MO\perp AB$  (do $MO\perp CD$ )

$\iff M$ là điểm chính giữa của cung AB.