Câu hỏi:

10/02/2023 206

Cho tứ diện ABCD có \(AB = x\) thay đổi, tất cả các cạnh còn lại có độ dài a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD trong trường hợp thể tích của khối tứ diện ABCD lớn nhất.

A. \(\frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

B. \(\frac{{a\sqrt 6 }}{4}\)

C. \(\frac{{a\sqrt 3 }}{4}\)

D. \(\frac{{a\sqrt 6 }}{3}\)

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ 25 đề thi học kì 1 Toán 12 năm 2022-2023 (tiếp theo) có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án B

Cách giải:

Gọi M là trung điểm của CD. Kẻ AH vuông góc mặt phẳng (BCD) (H thuộc (BCD))

Cho tứ diện ABCD có AB = x thay đổi, tất cả các cạnh còn lại có độ dài a. Tính khoảng (ảnh 1)

\( \Rightarrow H \in BM,\,\,\,AH \bot HM\)

\({V_{ABCD}}\) lớn nhất khi và chỉ khi AH có độ dài lớn nhất, tức là khi H trùng M

Hai tam giác ACD, BCD đều, cạnh a, có đường cao AM, BM bằng \(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Tam giác ABM vuông cân tại A, lấy N là trung điểm của AB \( \Rightarrow MN \bot AB\)

Mà \(MN \subset \left( {AMB} \right) \bot CD \Rightarrow MN \bot CD \Rightarrow \) MN là đoạn vuông góc chung của AB và CD

Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD là: \(MN = \frac{{AM}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{a\sqrt 6 }}{4}\)

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hàm số \(y = \frac{{2x - 1}}{{x - 2}}\). Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\)

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right)\)

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\)

D. Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right)\)

Lời giải

Đáp án C

Phương pháp:

* Phương pháp xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số:

- Bước 1: Tìm tập xác định, tính \(f'\left( x \right)\)

- Bước 2: Tìm các điểm tại đó \(f'\left( x \right) = 0\)hoặc \(f'\left( x \right)\)không xác định

- Bước 3: Sắp xếp các điểm đó theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên

- Bước 4: Kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Cách giải:

Tập xác định: \(D = R\backslash \left\{ 2 \right\}\)

\(y = \frac{{2x - 1}}{{x - 2}} \Rightarrow y' = \frac{{2.\left( { - 2} \right) - 1\left( { - 1} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{ - 3}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} < 0,\,\,\forall x \in D\)

\( \Rightarrow \) Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right),\,\,\left( {2; + \infty } \right)\)

Câu 2

Gọi giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \ln x\) trên đoạn \(\left[ {\frac{1}{{{e^2}}};e} \right]\) lần lượt là m và M. Tích M.m bằng

A. –1

B. 2e

C. \(\frac{{ - 2}}{e}\)

D. 1

Lời giải

Đáp án A

Phương pháp:

- Tìm TXĐ

- Tìm nghiệm và điểm không xác định của y’

- Tính các giá trị tại \(\frac{1}{{{e^2}}}\), tại , tại nghiệm của y’ . Tìm GTLN, GTNN trong các giá trị đó. e

- Tính tích M.m.

Cách giải:

TXĐ: \(D = \left( {0; + \infty } \right)\)

\(y = x.\ln x \Rightarrow y' = \ln x + x.\frac{1}{x} = \ln x + 1\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{e}\)

Ta có: \(f\left( {\frac{1}{{{e^2}}}} \right) = - \frac{2}{{{e^2}}},\,\,\,f\left( e \right) = e,\,\,\,f\left( {\frac{1}{e}} \right) = - \frac{1}{e}\)

Vậy \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {\frac{1}{{{e^2}}};e} \right]} f\left( x \right) = - \frac{1}{e} = m,\,\,\,\mathop {\max }\limits_{\left[ {\frac{1}{{{e^2}}};e} \right]} f\left( x \right) = e = M \Rightarrow M.m = - 1\)

Câu 3