Cho hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$  có đồ thị như trong hình bên dưới. Biết rằng a là số thực dương, hỏi trong các số có tất cả bao nhiêu số dương?

 

Chọn C

· Vì $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{5x^2-4x-1}{x^2-1}=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{x^2\left(5-\frac{4}{x}-\frac{1}{x^2}\right)}{x^2\left(1-\frac{1}{x^2}\right)}=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{5-\frac{4}{x}-\frac{1}{x^2}}{1-\frac{1}{x^2}}=5$  nên đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang y=5 .

· Vì $\underset{x\to 1}{\lim }y=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{5x^2-4x-1}{x^2-1}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\left(5x+1\right)\left(x-1\right)}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{5x+1}{x+1}=\frac{6}{2}=3$  nên x=1 không là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

·$\underset{x\to {\left(-1\right)}^{+}}{\lim }y=\underset{x\to {\left(-1\right)}^{+}}{\lim }\frac{5x^2-4x-1}{x^2-1}=\underset{x\to {\left(-1\right)}^{+}}{\lim }\frac{5x^2-4x-1}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}=\underset{x\to {\left(-1\right)}^{+}}{\lim }\left(\frac{1}{x+1}.\frac{5x^2-4x-1}{x-1}\right)$

Mà:$\left\{\begin{array}{l}\underset{x\to {\left(-1\right)}^{+}}{\lim }\frac{1}{x+1}=+\infty \\ \underset{x\to {\left(-1\right)}^{+}}{\lim }\frac{5x^2-4x-1}{x-1}=-4<0\end{array}\right.$  nên $\underset{x\to {\left(-1\right)}^{+}}{\lim }y=-\infty$ .

$\underset{x\to {\left(-1\right)}^{-}}{\lim }y=\underset{x\to {\left(-1\right)}^{-}}{\lim }\frac{5x^2-4x-1}{x^2-1}=\underset{x\to {\left(-1\right)}^{-}}{\lim }\frac{5x^2-4x-1}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}=\underset{x\to {\left(-1\right)}^{-}}{\lim }\left(\frac{1}{x+1}.\frac{5x^2-4x-1}{x-1}\right)$

   Mà: $\left\{\begin{array}{l}\underset{x\to {\left(-1\right)}^{-}}{\lim }\frac{1}{x+1}=-\infty \\ \underset{x\to {\left(-1\right)}^{-}}{\lim }\frac{5x^2-4x-1}{x-1}=-4<0\end{array}\right.$  nên $\underset{x\to {\left(-1\right)}^{-}}{\lim }y=+\infty$ .

Do đó, đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng x=-1 .

Tổng cộng đồ thị hàm số có 2 tiệm cận.

a)

Gọi $x\left(m\right)$ , $2x\left(m\right)$  , $h\left(m\right)$  lần lượt là chiều rộng, chiều dài, chiều cao của bể $(x>0,h>0)$  .

Tổng diện tích các mặt của bể: $2(xh+2xh)+2x^2=6xh+2x^2=6,7$ $\Rightarrow h=\frac{6,7-2x^2}{6x}$ .

Vì h>0  nên $x<\sqrt{\frac{6,7}{2}}$ .

Thể tích bể là $V\left(x\right)=\frac{6,7x-2x^3}{3},\forall x\in \left(0;\sqrt{\frac{6,7}{2}}\right)$ .

Suy ra $V^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{6,7-6x^2}{3},\forall x\in \left(0;\sqrt{\frac{6,7}{2}}\right)$

Cho $V^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff \frac{6,7-6x^2}{3}=0\iff x=\sqrt{\frac{6,7}{6}}$  (nhận);$V\left(\sqrt{\frac{6,7}{6}}\right)\approx 1,57$ .

Bảng biến thiên