Cho hàm số $y=f\left(x\right)$  có đạo hàm $f\text{'}\left(x\right)$  trên R. Hình vẽ bên dưới là đồ thị của hàm số $y=f\text{'}\left(x\right)$  . Hỏi hàm số $g\left(x\right)=f\left(x^2+2\right)$  nghịch biến trên khoảng nào?

Chọn C

· Vì $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{5x^2-4x-1}{x^2-1}=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{x^2\left(5-\frac{4}{x}-\frac{1}{x^2}\right)}{x^2\left(1-\frac{1}{x^2}\right)}=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{5-\frac{4}{x}-\frac{1}{x^2}}{1-\frac{1}{x^2}}=5$  nên đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang y=5 .

· Vì $\underset{x\to 1}{\lim }y=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{5x^2-4x-1}{x^2-1}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\left(5x+1\right)\left(x-1\right)}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{5x+1}{x+1}=\frac{6}{2}=3$  nên x=1 không là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

·$\underset{x\to {\left(-1\right)}^{+}}{\lim }y=\underset{x\to {\left(-1\right)}^{+}}{\lim }\frac{5x^2-4x-1}{x^2-1}=\underset{x\to {\left(-1\right)}^{+}}{\lim }\frac{5x^2-4x-1}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}=\underset{x\to {\left(-1\right)}^{+}}{\lim }\left(\frac{1}{x+1}.\frac{5x^2-4x-1}{x-1}\right)$

Mà:$\left\{\begin{array}{l}\underset{x\to {\left(-1\right)}^{+}}{\lim }\frac{1}{x+1}=+\infty \\ \underset{x\to {\left(-1\right)}^{+}}{\lim }\frac{5x^2-4x-1}{x-1}=-4<0\end{array}\right.$  nên $\underset{x\to {\left(-1\right)}^{+}}{\lim }y=-\infty$ .

$\underset{x\to {\left(-1\right)}^{-}}{\lim }y=\underset{x\to {\left(-1\right)}^{-}}{\lim }\frac{5x^2-4x-1}{x^2-1}=\underset{x\to {\left(-1\right)}^{-}}{\lim }\frac{5x^2-4x-1}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}=\underset{x\to {\left(-1\right)}^{-}}{\lim }\left(\frac{1}{x+1}.\frac{5x^2-4x-1}{x-1}\right)$

   Mà: $\left\{\begin{array}{l}\underset{x\to {\left(-1\right)}^{-}}{\lim }\frac{1}{x+1}=-\infty \\ \underset{x\to {\left(-1\right)}^{-}}{\lim }\frac{5x^2-4x-1}{x-1}=-4<0\end{array}\right.$  nên $\underset{x\to {\left(-1\right)}^{-}}{\lim }y=+\infty$ .

Do đó, đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng x=-1 .

Tổng cộng đồ thị hàm số có 2 tiệm cận.

Chọn B

Nhìn vào đồ thị ta thấy

· Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là $y=\frac{a}{c}$  nằm phía trên trục hoành nên        $\frac{a}{c}>0\Rightarrow a,c$  cùng dấu.

· Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là $x=\frac{-d}{c}$  nằm bên trái trục tung nên $\frac{-d}{c}<0\Rightarrow \frac{d}{c}>0\Rightarrow d,c$  cùng dấu.

· Giao điểm của đồ thị và trục tung nằm bên dưới trục hoành nên $\frac{b}{d}<0$$\Rightarrow b,d$  trái dấu.

Mà $a>0\Rightarrow c>0,d>0,b<0$ .