Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD). Biết rằng côsin của góc giữa (SCD) và (ABCD) bằng \(\frac{{2\sqrt {19} }}{{19}}\). Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABCD.

Đáp án B

Xác định góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {\alpha ;\beta } \right)\)

- Tìm giao tuyến \(\Delta \) của \(\left( {\alpha ;\beta } \right)\)

- Xác định 1 mặt phẳng \(\gamma \bot \Delta \)

- Tìm các giao tuyến \(a = \alpha \cap \gamma ,\,\,\,b = \beta \cap \gamma \)

- Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {\alpha ;\beta } \right):\,\,\,\left( {\alpha ;\beta } \right) = \left( {a;b} \right)\)

Cách giải:

Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB, CD.

Tam giác SAB cân tại S \( \Rightarrow SI \bot AB\)

Vì mặt bên SAB nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD) nên \(SI \bot \left( {ABCD} \right)\)

Ta có: \[{\rm{IJ}} \bot CD,\,\,SI \bot CD \Rightarrow CD \bot \left( {SIJ} \right)\]

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SCD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = CD\\\left( {SIJ} \right) \bot CD\\\left( {SIJ} \right) \cap \left( {SCD} \right) = SJ\\\left( {SIJ} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = IJ\end{array} \right. \Rightarrow \left( {\left( {SCD} \right);\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {SJ;IJ} \right) = SJI\,\,do\,\,SJI < {90^0}\)

\(\cos \,SJI = \frac{{2\sqrt {19} }}{{19}}\)

\( \Rightarrow \frac{{IJ}}{{SJ}} = \frac{{2\sqrt {19} }}{{19}} \Rightarrow S = \frac{a}{{\frac{{2\sqrt {19} }}{{19}}}} = \frac{{a\sqrt {19} }}{2}\)

\( \Rightarrow SI = \sqrt {S{J^2} - I{J^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt {19} }}{2}} \right)}^2} - {a^2}} = \frac{{a\sqrt {15} }}{2}\)