Câu hỏi:
19/02/2023 320Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, \(AB = a,\,\,AD = \sqrt 2 a\), góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (ABCD) bằng \({60^0}\). Gọi H là trung điểm của AB. Biết rằng tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính theo a bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.HAC.
Quảng cáo
Trả lời:
Đáp án C
Phương pháp:
+) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHC và E là trung điểm của BC.
+) Qua I dựng đường thẳng song song với SH, qua E dựng đường thẳng song song với IH, hai đường thẳng này cắt nhau tại O \( \Rightarrow \) O là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp S.AHC. O
+) Tính IH, sử dụng công thức \(R = \frac{{abc}}{{4S}}\) với a, b, c là ba cạnh của tam giác AHC, S là diện tích tam giác AHC, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AHC.
+) Tính HE.
+) Sử dụng định lí Pytago tính OH.
Cách giải
Kẻ HK vuông góc AB tại K, gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHC, E là trung điểm của SH.
Ta có: H là trung điểm của AB, tam giác SAB cân tại S \( \Rightarrow SH \bot AB\)
Mà SAB nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy \( \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\)
\(\Delta AHK\) đồng dạng \(\Delta ACB\) (g.g)
\( \Rightarrow \frac{{AH}}{{AC}} = \frac{{HK}}{{BC}} \Leftrightarrow \frac{{\frac{a}{2}}}{{\sqrt {{a^2} + {{\left( {\sqrt 2 a} \right)}^2}} }} = \frac{{HK}}{{\sqrt 2 a}} \Leftrightarrow HK = \frac{a}{{\sqrt 6 }}\)
Ta có: \(HK \bot AC,\,\,\,SH \bot AC \Rightarrow AC \bot \left( {SHK} \right) \Rightarrow AC \bot SK\)
\( \Rightarrow \left( {\left( {SAC} \right);\left( {ABCD} \right)} \right) = SKH = {60^0}\)
\(\Delta SKH\) vuông tại H, \(SKH = {60^0} \Rightarrow SH = HK.\tan {60^0} = \frac{a}{{\sqrt 6 }}.\sqrt 3 = \frac{a}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow EH = \frac{a}{{2\sqrt 2 }}\)
Ta có: \({S_{\Delta AHC}} = \frac{1}{2}{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}.\frac{1}{2}.{S_{ABCD}} = \frac{{{S_{ABCD}}}}{4} = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{4}\)
I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHB
\( \Rightarrow IH = R = \frac{{AH.HC.AC}}{{4{S_{\Delta AHC}}}} = \frac{{\frac{a}{2}.\sqrt {{{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\sqrt 2 a} \right)}^2}} .\sqrt {{a^2} + {{\left( {\sqrt 2 a} \right)}^2}} }}{{4.\frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{4}}} = \frac{{\frac{a}{2}.\frac{{3a}}{2}.\sqrt 3 a}}{{{a^2}\sqrt 2 }} = \frac{{3\sqrt 3 a}}{{4\sqrt 2 }}\)
Tứ giác OEHI là hình chữ nhật
\( \Rightarrow OH = \sqrt {I{H^2} + E{H^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{3\sqrt 2 a}}{{4\sqrt 2 }}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{a}{{2\sqrt 2 }}} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{{27{a^2}}}{{32}} + \frac{{{a^2}}}{8}} = \frac{{\sqrt {62} a}}{8}\)
Vậy, bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.HAC là \(\frac{{\sqrt {62} a}}{8}\)
Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Đáp án C
Phương pháp:
Đồ thị hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{x - c}}\) có hai đường tiệm cận: \(x = c\) và \(y = a\), đồng thời cắt trục hoành tại điểm \(\left( { - \frac{b}{a};0} \right)\)
Cách giải:
Quan sát đồ thị hàm số ta thấy: Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng \(x = {x_0} < 0 \Rightarrow c < 0\), đồ thị hàm số có tiệm cận ngang \(y = {y_0} > 0 \Rightarrow a > 0\)
Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm\(\left( {x{'_0};0} \right),\,\,x{'_0} > 0 \Rightarrow - \frac{b}{a} > 0\)
Mà \(a > 0 \Rightarrow b < 0\)
Vậy \(a > 0,\,\,b < 0,\,\,c < 0\)
Lời giải
Đáp án A
Phương pháp:
* Phương pháp xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số:
- Bước 1: Tìm tập xác định, tính \(f'\left( x \right)\)
- Bước 2: Tìm các điểm tại đó \(f'\left( x \right) = 0\) hoặc \(f'\left( x \right)\) không xác định
- Bước 3: Sắp xếp các điểm đó theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên
- Bước 4: Kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Cách giải:
+) \(y = \frac{{x - 1}}{{x + 2}}\) ta có \(y' = \frac{{2 + 1}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \frac{3}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} > 0,\,\,\forall x \ne - 2 \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right);\,\,\,\left( { - 2; + \infty } \right)\)
+) \(y = {x^3} + 2 \Rightarrow y' = 3{x^2} \ge 0,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\): Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
+) \(y = x + 1 \Rightarrow y' = 1 > 0,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\): Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
+) \(y = {x^5} + {x^3} - 1 \Rightarrow y' = 5{x^4} + 3{x^2} \ge 0,\,\,\forall x \in \mathbb{R};\,\,\,y' = 0 \Leftrightarrow x = 0 \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 1)
135 câu Bài tập Hình học mặt nón, mặt trụ, mặt cầu cực hay có lời giải (P1)
79 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 2 Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến và viết phương trình mặt phẳng có đáp án
87 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 3 Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến và viết phương trình mặt phẳng có đáp án
80 câu Trắc nghiệm Tích phân có đáp án (Phần 1)
56 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 2: Lôgarit có đáp án
15 câu Trắc nghiệm Số phức có đáp án (Vận dụng)
7 câu Trắc nghiệm Khối đa diện lồi và khối đa diện đều có đáp án (Vận dụng)
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận