2. Phần dành cho học sinh chuyên

Cho hai số thực dương a, b khác 1. Biết rằng bất kì đường thẳng nào song song với trục hoành mà cắt các đường \(y = {a^x},\,\,y = {b^x}\) và trục tung lần lượt tại M, N, A thì \(2AN = 5AM\) (hình vẽ bên). Hỏi khẳng định nào sau đây đúng?

Đáp án B

Phương pháp:

Xác định các trường hợp của m, trong mỗi trường hợp, tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số và cho các đường tiệm cận đi qua điểm \(A\left( {1;4} \right)\)

Cách giải:

+) Với \(m = 0 \Rightarrow y = 4\): Đồ thị hàm số không có tiệm cận.

+) Với \(m \ne 0,\,\,\,{m^2}.\left( { - 1} \right) - \left( { - 4} \right).m = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 4\) thì \(y = 4\): Đồ thị hàm số không có tiệm cận.

+) Với \(m \ne 0,\,\,m \ne 4 \Rightarrow y = \frac{{{m^2}x - 4}}{{mx - 1}}\) có tiệm cận đứng \(x = \frac{1}{m}\), tiệm cận ngang \(y = m\)

Đáp án A

Phương pháp:

+) Giải phương trình hoành độ giao điểm của hai hàm số, tìm điều kiện để phương trình hoành độ giao điểm có 3 nghiệm phân biệt.

+) Sử dụng định lí Vi-et.

Cách giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của \(y = - mx\) và \(y = {x^3} - 3{x^2} - m + 2\)

\({x^3} - 3{x^2} - m + 2 = - mx \Leftrightarrow {x^3} - 3{x^2} + mx - m + 2 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 2x + m - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\{x^2} - 2x + m - 2 = 0\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Để đường thẳng \(y = - mx\) cắt đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} - m + 2\) tại ba điểm A,B,C phân biệt thì (2) có 2 nghiệm phân biệt và khác 1

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\1 - 2 + m - 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - m + 2 > 0\\m - 3 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m < 3\)

Khi đó, giả sử (2) có 2 nghiệm \({x_1},\,{x_2}\left( {{x_1} < {x_2}} \right)\). Theo Vi ét: \({x_1} + {x_2} = 2\)

Mà \({y_1} = - m{x_1},\,\,{y_2} = - m{x_2} \Rightarrow {y_1} + {y_2} = - m\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = - 2m\)