Câu hỏi:
20/02/2023 324
Tìm tất cả giá trị thực của tham số \(m\) để đường thẳng \(\left( d \right):y = mx - m - 1\) cắt đồ thị \(\left( C \right):y = {x^3} - 3{x^2} + 1\) tại 3 điểm \(A\), \(B\), \(C\) phân biệt (\(B\) thuộc đoạn \(AC\)), sao cho tam giác \(AOC\) cân tại \(O\) (với \(O\) là gốc toạ độ).
Câu hỏi trong đề: Bộ 20 đề thi giữa kì 1 Toán 12 năm 2022-2023 có đáp án !!
Quảng cáo
Trả lời:
Lời giải
Chọn B
Cách 1:
Xét phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng \(\left( d \right)\) và đường cong \(\left( C \right)\): \({x^3} - 3{x^2} + 1 = mx - m - 1\) \( \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 2x - 2 - m} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{{x^2} - 2x - 2 - m = 0\left( * \right)}\end{array}} \right.\).
\(\left( d \right)\) cắt \(\left( C \right)\) tại \(3\) điểm phân biệt \(A\), \(B\), \(C\) \( \Leftrightarrow \) \(\left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt khác \(1\).
\(\left( * \right) \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = m + 3\) có hai nghiệm phân biệt khác \(1\) khi và chỉ khi \(m > - 3\).
Khi đó \(\left( * \right)\) có hai nghiệm \({x_1} = 1 - \sqrt {m + 3} \), \({x_2} = 1 + \sqrt {m + 3} \) thỏa \({x_1} < 1 < {x_2}\).
Không mất tính tổng quát, gọi \(A\left( {1 - \sqrt {m + 3} ; - m\sqrt {m + 3} - 1} \right)\), \(B\left( {1; - 1} \right)\), \(C\left( {1 + \sqrt {m + 3} ;m\sqrt {m + 3} - 1} \right)\).
Tam giác \(AOC\) cân tại \(O\) \( \Leftrightarrow OA = OC \Leftrightarrow O{A^2} = O{C^2}\)
\( \Leftrightarrow {\left( {1 - \sqrt {m + 3} } \right)^2} + {\left( { - m\sqrt {m + 3} - 1} \right)^2} = {\left( {1 + \sqrt {m + 3} } \right)^2} + {\left( {m\sqrt {m + 3} - 1} \right)^2}\)
\( \Leftrightarrow 4\sqrt {m + 3} - 4m\sqrt {m + 3} = 0 \Leftrightarrow 4\left( {m - 1} \right)\sqrt {m + 3} = 0 \Leftrightarrow m = 1\).
Với \(m = 1\) thỏa mãn điều kiện tồn tại các điểm \(A\), \(B\), \(C\) và khi đó đường thẳng \(\left( d \right):y = x - 2\) không đi qua gốc tọa độ \(O\) nên \(A\), \(O\), \(C\) tạo thành tam giác cân. Vậy \(m = 1\) là giá trị cần tìm.
Cách 2:
Xét phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng \(\left( d \right)\) và đường cong \(\left( C \right)\): \({x^3} - 3{x^2} + 1 = mx - m - 1\) \( \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 2x - 2 - m} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{{x^2} - 2x - 2 - m = 0\left( * \right)}\end{array}} \right.\).
\(\left( d \right)\) cắt \(\left( C \right)\) tại \(3\) điểm phân biệt \(A\), \(B\), \(C\) \( \Leftrightarrow \) \(\left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt khác \(1\).
\(\left( * \right) \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = m + 3\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1}\),\({x_2}\) khác \(1\) khi và chỉ khi \(m > - 3\).
Xét \({x^2} - 2x - 2 - m = 0\,\)\(\left( * \right)\)
Theo Viet:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} = 2}\\{{x_1}{x_2} = - m - 2}\end{array}} \right.\)
Khi đó:\(A\left( {{x_1};m{x_1} - m - 1} \right)\),\(B\left( {{x_2};m{x_2} - m - 1} \right)\).
Cần có:\(O{A^2} = O{B^2}\)
\( \Leftrightarrow x_1^2 + {\left( {m{x_1} - m - 1} \right)^2} = x_2^2 + {\left( {m{x_2} - m - 1} \right)^2}\)
\( \Leftrightarrow \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left[ {\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + m\left[ {m\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 2m - 2} \right]} \right] = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + m\left[ {m\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 2m - 2} \right]} \right] = 0\)
\( \Leftrightarrow 2 + m\left( {2m - 2m - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow m = 1\).
Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
- 500 Bài tập tổng ôn môn Toán (Form 2025) ( 38.500₫ )
- 250+ Công thức giải nhanh môn Toán 12 (chương trình mới) ( 18.000₫ )
- Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới) ( 36.000₫ )
- Bộ đề thi tốt nghiệp 2025 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh, Sử, Địa, KTPL (có đáp án chi tiết) ( 36.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Lời giải
Chọn D
Ta có \[f'\left( x \right) = {\left( {x + 1} \right)^2}{\left( {x - 1} \right)^3}\left( {2 - x} \right) \Rightarrow f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 1\\x = 2\end{array} \right.\].
Từ đó, ta có bảng biến thiên như sau:
Dựa vào bảng biến thiên thì hàm số \[y = f\left( x \right)\] đồng biến trên \(\left( {1\,;\,2} \right)\).
Lời giải
Lời giải
Chọn D
Đồ thị hàm số \[y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\] đi qua \(M\left( {0\,;\,\frac{b}{d}} \right)\), có đường tiệm cận đứng \(x = - \frac{d}{c}\), đường tiệm cận ngang \(y = \frac{a}{c}\).
Quan sát đồ thị thấy:
+ Giao điểm với trục tung nằm phía dưới \(Ox\)nên \(\frac{b}{d} < 0 \Leftrightarrow bd < 0\)\( \Rightarrow \) Loại phương án
+ Đường tiệm cận ngang nằm phía trên \(Ox\)nên \(\frac{a}{c} > 0 \Leftrightarrow ac > 0\)\( \Rightarrow \) Loại phương án
+ Đường tiệm cận đứng nằm bên trái \(Oy\)nên \( - \frac{d}{c} < 0 \Leftrightarrow cd > 0\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}bd < 0\\cd > 0\end{array} \right. \Rightarrow bc < 0\)\( \Rightarrow \) Loại phương án
Kiểm chứng phương án D: \(\left\{ \begin{array}{l}ac > 0\\cd > 0\end{array} \right. \Rightarrow ad > 0\); \(\left\{ \begin{array}{l}ad > 0\\bd < 0\end{array} \right. \Rightarrow ab < 0\).
Lưu ý: Có thể sử dụng giao điểm của đồ thị với trục hoành nằm bên phải \(Oy\)nên \( - \frac{b}{a} > 0 \Leftrightarrow ab < 0\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.