Câu hỏi:

20/02/2023 293

Tìm tất cả giá trị thực của tham số $m$ để đường thẳng $\left( d \right):y = mx - m - 1$ cắt đồ thị $\left( C \right):y = {x^3} - 3{x^2} + 1$ tại 3 điểm $A$, $B$, $C$ phân biệt ($B$ thuộc đoạn $AC$), sao cho tam giác $AOC$ cân tại $O$ (với $O$ là gốc toạ độ).

A. $m = - 1$.

B. $m = 1$.

Đáp án chính xác

C. $m = 2$.

D. $m = - 2$.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ 20 đề thi giữa kì 1 Toán 12 năm 2022-2023 có đáp án !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Lời giải

Chọn B

Cách 1:

Xét phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng $\left( d \right)$ và đường cong $\left( C \right)$: ${x^3} - 3{x^2} + 1 = mx - m - 1$ $ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 2x - 2 - m} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{{x^2} - 2x - 2 - m = 0\left( * \right)}\end{array}} \right.$.

$\left( d \right)$ cắt $\left( C \right)$ tại $3$ điểm phân biệt $A$, $B$, $C$ $ \Leftrightarrow $ $\left( * \right)$ có hai nghiệm phân biệt khác $1$.

$\left( * \right) \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = m + 3$ có hai nghiệm phân biệt khác $1$ khi và chỉ khi $m > - 3$.

Khi đó $\left( * \right)$ có hai nghiệm ${x_1} = 1 - \sqrt {m + 3} $, ${x_2} = 1 + \sqrt {m + 3} $ thỏa ${x_1} < 1 < {x_2}$.

Không mất tính tổng quát, gọi $A\left( {1 - \sqrt {m + 3} ; - m\sqrt {m + 3} - 1} \right)$, $B\left( {1; - 1} \right)$, $C\left( {1 + \sqrt {m + 3} ;m\sqrt {m + 3} - 1} \right)$.

Tam giác $AOC$ cân tại $O$ $ \Leftrightarrow OA = OC \Leftrightarrow O{A^2} = O{C^2}$

$ \Leftrightarrow {\left( {1 - \sqrt {m + 3} } \right)^2} + {\left( { - m\sqrt {m + 3} - 1} \right)^2} = {\left( {1 + \sqrt {m + 3} } \right)^2} + {\left( {m\sqrt {m + 3} - 1} \right)^2}$

$ \Leftrightarrow 4\sqrt {m + 3} - 4m\sqrt {m + 3} = 0 \Leftrightarrow 4\left( {m - 1} \right)\sqrt {m + 3} = 0 \Leftrightarrow m = 1$.

Với $m = 1$ thỏa mãn điều kiện tồn tại các điểm $A$, $B$, $C$ và khi đó đường thẳng $\left( d \right):y = x - 2$ không đi qua gốc tọa độ $O$ nên $A$, $O$, $C$ tạo thành tam giác cân. Vậy $m = 1$ là giá trị cần tìm.

Cách 2:

Xét phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng $\left( d \right)$ và đường cong $\left( C \right)$: ${x^3} - 3{x^2} + 1 = mx - m - 1$ $ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 2x - 2 - m} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{{x^2} - 2x - 2 - m = 0\left( * \right)}\end{array}} \right.$.

$\left( d \right)$ cắt $\left( C \right)$ tại $3$ điểm phân biệt $A$, $B$, $C$ $ \Leftrightarrow $ $\left( * \right)$ có hai nghiệm phân biệt khác $1$.

$\left( * \right) \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = m + 3$ có hai nghiệm phân biệt ${x_1}$,${x_2}$ khác $1$ khi và chỉ khi $m > - 3$.

Xét ${x^2} - 2x - 2 - m = 0\,$$\left( * \right)$

Theo Viet:$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} = 2}\\{{x_1}{x_2} = - m - 2}\end{array}} \right.$

Khi đó:$A\left( {{x_1};m{x_1} - m - 1} \right)$,$B\left( {{x_2};m{x_2} - m - 1} \right)$.

Cần có:$O{A^2} = O{B^2}$

$ \Leftrightarrow x_1^2 + {\left( {m{x_1} - m - 1} \right)^2} = x_2^2 + {\left( {m{x_2} - m - 1} \right)^2}$

$ \Leftrightarrow \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left[ {\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + m\left[ {m\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 2m - 2} \right]} \right] = 0$

$ \Leftrightarrow \left[ {\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + m\left[ {m\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 2m - 2} \right]} \right] = 0$

$ \Leftrightarrow 2 + m\left( {2m - 2m - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow m = 1$.

Bình luận

Câu 1:

Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] liên tục trên \[\mathbb{R}\] và có đạo hàm \[f'\left( x \right) = {\left( {x + 1} \right)^2}{\left( {x - 1} \right)^3}\left( {2 - x} \right)\]. Hàm số \[y = f\left( x \right)\] đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A.$\left( { - \infty \,;\, - 1} \right)$.

B. $\left( { - 1\,;\,1} \right)$.

C. $\left( {2\,;\, + \infty } \right)$.

D. $\left( {1\,;\,2} \right)$.

Xem đáp án » 20/02/2023 14,333

Câu 2:

Cho hàm số \[y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\] có đồ thị như hình vẽ.

Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $ab < 0$; $ac < 0$.

B. $bd < 0$; $bc > 0$.

C. $ad > 0$; $bd > 0$.

D. $ab < 0$; $ad > 0$.

Xem đáp án » 20/02/2023 11,974

Câu 3:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \[m\] để hàm số \[y = \frac{1}{3}{x^3} - \left( {2m - 1} \right){x^2} + \left( {{m^2} - m + 7} \right)x + m - 5\] có hai điểm cực trị là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng \[\sqrt {74} \].

A. \[m = 3\].

B. \[\left[ \begin{array}{l}m = - 3\\m = 2\end{array} \right.\].

C. \[m = 2\].

D. \[\left[ \begin{array}{l}m = 3\\m = - 2\end{array} \right.\].

Xem đáp án » 20/02/2023 5,218

Câu 4:

Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y = {x^4} - 2m{x^2} + m + 1\mathord{\setbox0=\hbox{$\exists$}\rlap{\raise.2ex\hbox to\wd0{\hss/\hss}}\box0} $có giá trị cực tiểu bằng $ - 1$. Tổng các phần tử thuộc $S$là:

A. $ - 2$.

B. $0$.

C. $1$.

D. $ - 1$.

Xem đáp án » 20/02/2023 4,070

Câu 5:

Cho hàm số $f\left( x \right) = {x^4} - 8{x^3} + 1$. Chọn mệnh đề đúng.

A. Nhận điểm $x = 6$làm điểm cực đại.

B. Nhận điểm $x = 6$làm điểm cực tiểu.

C. Nhận điểm $x = 0$làm điểm cực đại.

D. Nhận điểm $x = 0$làm điểm cực tiểu.

Xem đáp án » 20/02/2023 3,602

Câu 6:

Đồ thị sau đây là của hàm số nào?

A. $y = \frac{{x + 2}}{{1 - x}}$.

B. $y = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}$.

C. $y = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}$.

D. $y = \frac{{2x - 1}}{{x - 1}}$.

Xem đáp án » 20/02/2023 3,185

Câu 7:

Cho hình thang cân có độ dài đáy nhỏ và hai cạnh bên đều bằng $1$ mét. Khi đó hình thang đã cho có diện tích lớn nhất bằng?

A. $3\sqrt 3 \left( {{m^2}} \right)$.

B. $\frac{{3\sqrt 3 }}{2}\left( {{m^2}} \right)$.

C. $\frac{{3\sqrt 3 }}{4}\left( {{m^2}} \right)$.

D. $1\left( {{m^2}} \right)$.

Xem đáp án » 20/02/2023 2,807

Xem thêm các câu hỏi khác »

Nhà sách VIETJACK:

Combo - Sách 20 Bộ đề, Tổng ôn, sổ tay ôn thi 2025 môn Toán (3 quyển) - Mới nhất cho 2k7

Sách - 20 đề thi tốt nghiệp môn Toán (Sách dành cho ôn thi THPT Quốc gia 2025) VietJack

Combo - Sổ tay Lý thuyết trọng tâm lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2024 cho 2k7 VietJack

Bình luận

Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] liên tục trên \[\mathbb{R}\] và có đạo hàm \[f'\left( x \right) = {\left( {x + 1} \right)^2}{\left( {x - 1} \right)^3}\left( {2 - x} \right)\]. Hàm số \[y = f\left( x \right)\] đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Cho hàm số \[y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\] có đồ thị như hình vẽ.

Khẳng định nào sau đây đúng?

Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị của tham số \(m\) để hàm số \(y = {x^4} - 2m{x^2} + m + 1\mathord{\setbox0=\hbox{$\exists$}\rlap{\raise.2ex\hbox to\wd0{\hss/\hss}}\box0} \)có giá trị cực tiểu bằng \( - 1\). Tổng các phần tử thuộc \(S\)là:

Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^4} - 8{x^3} + 1\). Chọn mệnh đề đúng.

Đồ thị sau đây là của hàm số nào?

Cho hình thang cân có độ dài đáy nhỏ và hai cạnh bên đều bằng \(1\) mét. Khi đó hình thang đã cho có diện tích lớn nhất bằng?

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

Nhà sách VIETJACK:

Bình luận

Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] liên tục trên \[\mathbb{R}\] và có đạo hàm \[f'\left( x \right) = {\left( {x + 1} \right)^2}{\left( {x - 1} \right)^3}\left( {2 - x} \right)\]. Hàm số \[y = f\left( x \right)\] đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Cho hàm số \[y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\] có đồ thị như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây đúng?

Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị của tham số \(m\) để hàm số \(y = {x^4} - 2m{x^2} + m + 1\mathord{\setbox0=\hbox{$\exists$}\rlap{\raise.2ex\hbox to\wd0{\hss/\hss}}\box0} \)có giá trị cực tiểu bằng \( - 1\). Tổng các phần tử thuộc \(S\)là:

Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^4} - 8{x^3} + 1\). Chọn mệnh đề đúng.

Đồ thị sau đây là của hàm số nào?

Cho hình thang cân có độ dài đáy nhỏ và hai cạnh bên đều bằng \(1\) mét. Khi đó hình thang đã cho có diện tích lớn nhất bằng?

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho hàm số \[y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\] có đồ thị như hình vẽ.

Khẳng định nào sau đây đúng?