Tìm tất cả các giá trị \(m\) để hàm số \(y = \frac{m}{3}{x^3} - m{x^2} + \left( {2m - 1} \right)x - 2\) nghịch biến trên tập xác định của nó.

Lời giải

Chọn A

Tập xác định \(D = \mathbb{R}\)

Trường hợp \(1\): \(m = 0\)

Hàm số trở thành \(y = - x + 2\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\)\( \Rightarrow m = 0\) thỏa mãn.

Trường hợp \(2\): \(m \ne 0\)

\(y' = m{x^2} - 2mx + 2m - 1\)

Hàm số nghịch biến trên tập xác định \[ \Leftrightarrow y' \le 0,\forall x \in \mathbb{R}\].

(Dấu \(' = '\) xảy ra tại hữu hạn điểm trên \(\mathbb{R}\))

ĐK: \[\left\{ \begin{array}{l}m < 0\\\Delta ' \le 0\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 0\\{m^2} - m\left( {2m - 1} \right) \le 0\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 0\\ - {m^2} + m \le 0\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 0\\\left[ \begin{array}{l}m \ge 1\\m \le 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m < 0\].

Kết hợp cả \(2\) trường hợp ta được \(m \le 0\)