Tìm \(m\) để hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{3}{x^3} + m{x^2} + \left( {{m^2} - 4} \right)x\) đạt cực đại tại \(x = 1\).

Lời giải

Chọn C

Tập xác định \(D = \mathbb{R}\)

\(f'\left( x \right) = {x^2} + 2mx + \left( {{m^2} - 4} \right)\)

Hàm số đạt cực đại tại \(x = 1\) suy ra \(f'\left( 1 \right) = 0 \Leftrightarrow {m^2} + 2m - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = - 3\end{array} \right.\)

Với \(m = 1\) ta có \(f'\left( x \right) = {x^2} + 2x - 3;\,f''\left( x \right) = 2x + 2\); \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 3\end{array} \right.\)

Khi đó \(f''\left( 1 \right) = 4 > 0\) suy ra hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 1\): không thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Với \(m = - 3\) ta có \(f'\left( x \right) = {x^2} - 6x + 5;\,f''\left( x \right) = 2x - 6\); \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 5\end{array} \right.\)

Khi đó \(f''\left( 1 \right) = - 4 < 0\) suy ra hàm số đạt cực đại tại \(x = 1\): thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Vậy \(m = - 3\) thì ra hàm số đạt cực đại tại \(x = 1\).