Cho hàm số \(y = \frac{{2x - 3}}{{x - 1}}\)có đồ thị \(\left( C \right)\)và đường thẳng \(2x + y - m = 0\). Tìm m để hai đồ thị trên cắt nhau tại hai điểm \(A\), \(B\)phân biệt, đồng thời trung điểm của đoạn \(AB\)nằm trên đường tròn có tâm \(I\left( {1; - 1} \right)\), bán kính \(R = 2\).

Lời giải

Chọn A

Đường thẳng: \(2x + y - m = 0 \Leftrightarrow y = - 2x + m\)

Xét phương trình hoành độ giao điểm của 2 đường:

\(\frac{{2x - 3}}{{x - 1}} = - 2x + m\) \( \Leftrightarrow \)\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne 1}\\{2x - 3 = \left( { - 2x + m} \right)\left( {x - 1} \right)}\end{array}} \right.\backslash \left( {\;\backslash Leftrightarrow\;\backslash } \right)\)\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne 1}\\{2{x^2} - mx + m - 3 = 0}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \backslash \left( {2\left\{ {x\^2} \right\}\; - \;mx\; + \;m\; - \;3\; = \;0\backslash } \right)\)\(\left( * \right)\)

Yêu cầu bài toán \( \Rightarrow \)phương trình \(\left( * \right)\)có 2 nghiệm phân biệt

           \( \Leftrightarrow \Delta = {m^2} - 8\left( {m - 3} \right) > 0 \Leftrightarrow \forall m \in \mathbb{R}\)

Khi đó gọi tọa độ giao điểm \(A\left( {{x_1};{y_1} = - 2{x_1} + m} \right)\),\(B\left( {{x_2};{y_2} = - 2{x_2} + m} \right)\) với \({x_1}\), \({x_2}\)là hai nghiệm của phương trình \(\left( * \right)\)

Trung điểm \(M\)của \(AB\)có tọa độ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_M} = \frac{{{x_1} + {x_2}}}{2} = \frac{m}{4}}\\{{y_M} = \frac{{{y_1} + {y_2}}}{2} = \frac{{ - 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 2m}}{2} = \frac{{3m}}{4}}\end{array}} \right.\)

Đường tròn tâm \(I\left( {1; - 1} \right)\), bán kính \(R = \sqrt 2 \)có phương trình:

                   \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 2\)

\(M\)thuộc đường tròn trên nên ta có: \({\left( {\frac{m}{4} - 1} \right)^2} + {\left( {\frac{{3m}}{4} + 1} \right)^2} = 2\)

\( \Leftrightarrow \)\(\frac{5}{8}{m^2} + m = 0\backslash \left( {\;\backslash Leftrightarrow\;\backslash } \right)\)\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 0}\\{m = - \frac{8}{5}}\end{array}} \right.\)