Câu hỏi:

26/02/2023 695

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Gọi \(M\), \(N\), \(K\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB\), \(BC\), \(SA\). Biết mặt phẳng \(\left( {MNK} \right)\) chia khối chóp \(S.ABCD\) thành hai phần có thể tích là \({V_1},{V_2}\) \(\left( {{V_1} < {V_2}} \right)\). Tính tỉ số \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}\).

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Lời giải

Chọn B

Media VietJack

Trong mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\), kéo dài \(MN\) cắt \(DA\), \(DC\) lần lượt tại \(F\), \(E\).
Trong mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\), gọi \(FK \cap SD = Q\). Trong mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\), gọi \(QE \cap SC = P\).
Suy ra thiết diện là ngũ giác \(MNPQK\)\(MN{\rm{//}}AC\;{\rm{//\;}}PK\).
Đặt \(h = d\left( {S,\left( {ABCD} \right)} \right)\) \( \Rightarrow d\left( {K,\left( {ABCD} \right)} \right) = d\left( {P,\left( {ABCD} \right)} \right) = \frac{1}{2}h\)
Ta có: \(FA = BN = \frac{1}{2}AD \Rightarrow \frac{{FD}}{{FA}} = 3\).
Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác \(SAD\), suy ra
\(\frac{{QS}}{{QD}}.\frac{{FD}}{{FA}}.\frac{{KA}}{{KS}} = 1 \Rightarrow \frac{{QS}}{{QD}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{{QD}}{{SD}} = \frac{3}{4} \Rightarrow d\left( {Q,\left( {ABCD} \right)} \right) = \frac{3}{4}h\)
Mặt khác: \({S_{FAM}} = {S_{NCE}} = {S_{BMN}} = \frac{1}{4}{S_{ABC}} = \frac{1}{8}{S_{ABCD}} \Rightarrow {S_{DEF}} = \frac{9}{8}{S_{ABCD}}\)
Suy ra thể tích của khối đa diện không chứa đỉnh S là
\(V = {V_{QDEF}} - {V_{KAMF}} - {V_{PECN}} = \frac{1}{3}\left( {\frac{3}{4}h.\frac{9}{8}S - \frac{1}{2}h.\frac{1}{8}S - \frac{1}{2}h.\frac{1}{8}S} \right)\)
\( = \frac{1}{3}.\frac{{23}}{{32}}.h.{S_{ABCD}} = \frac{{23}}{{32}}{V_{ABCD}} = {V_2}\)
\( \Rightarrow {V_1} = \frac{9}{{32}} \Rightarrow \frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{9}{{23}}\)

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Lời giải

Lời giải

Chọn B
Cách 1: (Dùng bất đẳng thức CauChy)
\(y = 3x + \frac{4}{{{x^2}}} = \frac{{3x}}{2} + \frac{{3x}}{2} + \frac{4}{{{x^2}}} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{{3x}}{2}.\frac{{3x}}{2}.\frac{4}{{{x^2}}}}} = 3\sqrt[3]{9}\) (do \(x > 0\))
Dấu xảy ra khi \(\frac{{3x}}{2} = \frac{4}{{{x^2}}} \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{{\frac{8}{3}}}\).
Vậy \(\mathop {{\rm{min}}}\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} y = 3\sqrt[3]{9}\)
Cách 2: (Dùng đạo hàm)
Xét hàm số \(y = 3x + \frac{4}{{{x^2}}}\) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\)
Ta có \(y = 3x + \frac{4}{{{x^2}}} \Rightarrow y{\rm{'}} = 3 - \frac{8}{{{x^3}}}\)
Cho \(y{\rm{'}} = 0 \Leftrightarrow \frac{8}{{{x^3}}} = 3 \Leftrightarrow {x^3} = \frac{8}{3} \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{{\frac{8}{3}}}\)
Media VietJack
\( \Rightarrow \mathop {{\rm{min}}}\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} y = y\left( {\sqrt[3]{{\frac{8}{3}}}} \right) = 3\sqrt[3]{9}\).

Lời giải

Lời giải

Chọn D
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = 2 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{1}{{f\left( x \right)}} = \frac{1}{2}\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = - 2 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{f\left( x \right)}} = - \frac{1}{2}\).
Suy ra đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{{f\left( x \right)}}\)có hai đường tiệm cận ngang là \(y = \frac{1}{2}\)\(y = - \frac{1}{2}\).
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số \(y = f\left( x \right)\)ta thấy: phương trình \(f\left( x \right) = 0\)có hai nghiệm phân biệt \({x_1} < - 1 < {x_2}\).
Khi đó: \(f\left( {{x_1}} \right) = f\left( {{x_2}} \right) = 0\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_1}^ - } f\left( x \right) = 0\\f\left( x \right) > 0\,khi\,x \to {x_1}^ - \end{array} \right. \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_1}^ - } \frac{1}{{f\left( x \right)}} = + \infty \)\(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_2}^ - } f\left( x \right) = 0\\f\left( x \right) > 0\,khi\,x \to {x_2}^ - \end{array} \right. \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_2}^ - } \frac{1}{{f\left( x \right)}} = + \infty \).
Vậy đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{{f\left( x \right)}}\)có hai tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = {x_1}\)\(x = {x_2}\).

Câu 4

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP