Cho hàm số $y=\frac{x-2}{x-1}$ có đồ thị (C) và điểm $M\left(3;-1\right)$. Gọi D là tập hợp tất cả các đường thẳng đi qua điểm M và cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A,B sao cho $MB=3MA$. Tính tổng tất cả các hệ số góc của các đường thẳng thuộc D.

Gọi đường thẳng thuộc D có dạng: $d:y=k\left(x-3\right)-1=kx-3k-1$.

Phương trình hoành độ giao điểm:

$\begin{array}{l}\frac{x-2}{x-1}=kx-3k-1\\ \iff x-2=\left(kx-3k-1\right)\left(x-1\right)\\ \iff k{x}^2-2\left(2k+1\right)x+3k+3=0\begin{array}{cc}& \left(1\right)\end{array}\end{array}$

Để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A,B thì (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 1$\left\{\begin{array}{l}k\ne 0\\ {\left(2k+1\right)}^2-k\left(3k+3\right)>0\\ k{.1}^2-2\left(2k+1\right).1+3k+3\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}k\ne 0\\ k^2+k+1>0\end{array}\right.\iff k\ne 0$, tức là

.

Khi đó phương trình (1) có 2 nghiệm thỏa hệ thức Viet:

.$\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=\frac{4k+2}{k}\begin{array}{cc}& \left(2\right)\end{array}\\ x_1{x}_2=\frac{3k+3}{k}\begin{array}{cc}& \left(3\right)\end{array}\end{array}\right.$

Gọdi $A\left(x_1;k{x}_1-3k-1\right)\Rightarrow \overrightarrow{MA}=\left(x_1-3;k{x}_1-3k\right)$.

$B\left(x_2;k{x}_2-3k-1\right)\Rightarrow \overrightarrow{MB}=\left(x_2-3;k{x}_2-3k\right)$.

Ta có $MB=3MA\iff \left[\begin{array}{l}\overrightarrow{MB}=3\overrightarrow{MA}\\ \overrightarrow{MB}=-3\overrightarrow{MA}\end{array}\right.$.

Trường hợp 1: $\overrightarrow{MB}=3\overrightarrow{MA}\iff x_2-3=3\left(x_1-3\right)\iff x_2=3x_1-6\begin{array}{cc}& \left(4\right)\end{array}$.

Từ (2)và (4) suy ra $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+3x_1-6=\frac{4k+2}{k}\\ x_2=3x_1-6\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_1=\frac{10k+2}{4k}\\ x_2=\frac{6k+6}{4k}\end{array}\right.$

Thay vào (3), ta được

$\begin{array}{l}\left(\frac{10k+2}{4k}\right)\left(\frac{6k+6}{4k}\right)=\frac{3k+3}{k}\\ \iff 12k^2+24k+12=0\\ \iff k=-1\end{array}$

Trường hợp 2: $\overrightarrow{MB}=-3\overrightarrow{MA}\iff x_2-3=-3\left(x_1-3\right)\iff x_2=-3x_1+12\begin{array}{cc}& \left(5\right)\end{array}$.

Từ  (2)và (5)  suy ra $\left\{\begin{array}{l}{x}_1-3x_1+12=\frac{4k+2}{k}\\ x_2=-3x_1+12\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_1=\frac{4k-1}{k}\\ x_2=\frac{3}{k}\end{array}\right.$

Thay vào (3), ta được:

$\begin{array}{l}\left(\frac{4k-1}{k}\right)\left(\frac{3}{k}\right)=\frac{3k+3}{k}\\ \iff 3k^2-9k+3=0\\ \iff \left[\begin{array}{l}k=\frac{3+\sqrt{5}}{2}\\ k=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\end{array}\right.\end{array}$

Vậy tổng tất cả các hệ số góc của các đường thẳng thuộc D là

$S=-1+\frac{3+\sqrt{5}}{2}+\frac{3-\sqrt{5}}{2}=2$.