Một thửa ruộng hình chữ nhật có chiều dài 80 m và chiều dài bằng \[\frac{5}{4}\] chiều rộng. Người ta mở rộng thửa ruộng đó theo chiều dài thêm 25 m, thửa ruộng thành một hình chữ nhật mới và cấy lúa trên đó. Ước tính cứ 100 m² đạt năng suất 50 kg. Tính sản lượng thóc thu được ở thửa ruộng đó.

Lời giải

a) Gọi N là trung điểm AC.

Do H là điểm đối xứng của B qua G.

Suy ra G là trung điểm của BH.

Do đó \(GH = BG = \frac{2}{3}BN = 2GN\) (do G là trọng tâm tam giác ABC).

Vì vậy N là trung điểm GH (do 4 điểm B, G, N, H thẳng hàng).

Suy ra GN = NH.

Ta có \(\overrightarrow {AH} = \overrightarrow {AN} + \overrightarrow {NH} = \overrightarrow {AN} + \overrightarrow {GN} \)

\( = \overrightarrow {AN} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BN} = \overrightarrow {AN} + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AN} } \right)\)

\[ = \frac{4}{3}\overrightarrow {AN} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} = \frac{4}{3}\left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AC} } \right) - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} \]

\[ = \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} \].

Ta có \(\overrightarrow {CH} = \overrightarrow {CN} + \overrightarrow {NH} = \overrightarrow {CN} + \overrightarrow {GN} \)

\( = \overrightarrow {CN} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BN} = \overrightarrow {CN} + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AN} } \right)\)

\[ = \overrightarrow {CN} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AN} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}.\frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \]

\( = - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \).

Vậy ta có điều phải chứng minh.

b) \(\overrightarrow {MH} = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BH} = \frac{1}{2}\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AH} \)

\( = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AB} } \right) - \overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} \)

\( = - \frac{5}{6}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{6}\overrightarrow {AC} \).

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Lời giải

a) Ta có \(VT = \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BN} + \overrightarrow {CP} \) (do M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB).

\( = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} } \right) + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} } \right)\)

\( = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BA} } \right) + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BC} } \right) + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AC} } \right)\)

\( = \frac{1}{2}.\vec 0 + \frac{1}{2}.\vec 0 + \frac{1}{2}.\vec 0 = \vec 0 = VP\).

Vậy ta có điều phải chứng minh.

b) Ta có \(VT = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} } \right) + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} } \right) + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} } \right)\)

\( = \frac{1}{2}.2\overrightarrow {OP} + \frac{1}{2}.2\overrightarrow {ON} + \frac{1}{2}.2\overrightarrow {OM} \)

\( = \overrightarrow {OP} + \overrightarrow {ON} + \overrightarrow {OM} = VP\).

Vậy ta có điều phải chứng minh.