b) Chứng minh rằng chu vi tam giác PQR bằng tổng độ dài MA + MB + MC.

a) Vì tam giác ABC đều nên $\widehat{BAC}=\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=60°$.

Vì PM // BC nên $\widehat{ABC}=\widehat{APM}=60°$.

Tứ giác APMR là hình thang (vì MR // AP) có $\widehat{ABC}=\widehat{APM}$.

Do đó tứ giác APMR là hình thang cân.

Xét tam giác ABD cân tại A (vì AB = AD), ta có:

• $\widehat{ABD}=\widehat{ADB}=30°$

• $\widehat{A}+\widehat{ABD}+\widehat{ADB}=180°$ hay $\widehat{A}+30°+30°=180°$

Suy ra $\widehat{A}=180°-30°-30°=120°$.

Vì AB // CD nên $\widehat{ADB}=\widehat{CBD}=30°$ (hai góc so le trong).

Do đó $\widehat{ABC}=\widehat{ABD}+\widehat{CBD}=30°+30°=60°$.

Vì tứ giác ABCD là hình thang cân nên $\widehat{ABC}=\widehat{C}=60°$.

Ta có: $\widehat{A}+\widehat{ABC}+\widehat{C}+\widehat{ADC}=360°$.

$120°+60°+60°+\widehat{ADC}=360°$

$240°+\widehat{ADC}=360°$

Suy ra $\widehat{ADC}=360°-240°=120°$.