Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh bất đẳng thức:

$\frac{{ab}}{{a + b}} + \frac{{bc}}{{b + c}} + \frac{{ca}}{{c + a}} \le \frac{{a + b + c}}{2}$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:

• ${(a + b)^2} \ge 4ab$$\Leftrightarrow \frac{{a + b}}{4} \ge \frac{{ab}}{{a + b}}\,\,\,\,\,(1)$

• ${(b + c)^2} \ge 4bc$$\Leftrightarrow \frac{{b + c}}{4} \ge \frac{{bc}}{{b + c}}\,\,\,\,\,(2)$

• ${(c + a)^2} \ge 4ac$$\Leftrightarrow \frac{{c + a}}{4} \ge \frac{{ca}}{{c + a}}\,\,\,\,\,(3)$

Cộng 3 vế (1); (2) và (3) ta có:

$\frac{{a + b}}{4} + \frac{{b + c}}{4} + \frac{{c + a}}{4} \ge \frac{{ab}}{{a + b}} + \frac{{bc}}{{b + c}} + \frac{{ca}}{{c + a}}$

Hay $\frac{{ab}}{{a + b}} + \frac{{bc}}{{b + c}} + \frac{{ca}}{{c + a}} \le \frac{{(a + b) + (b + c) + (c + a)}}{4}$

Suy ra $\frac{{ab}}{{a + b}} + \frac{{bc}}{{b + c}} + \frac{{ca}}{{c + a}} \le \frac{{2(a + b + c)}}{4}$

Suy ra $\frac{{ab}}{{a + b}} + \frac{{bc}}{{b + c}} + \frac{{ca}}{{c + a}} \le \frac{{a + b + c}}{2}$   (đpcm)

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c.

Vậy $\frac{{ab}}{{a + b}} + \frac{{bc}}{{b + c}} + \frac{{ca}}{{c + a}} \le \frac{{a + b + c}}{2}$