Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển (1 + 2x)20.

Ta có hệ số của số hạng tổng quát sau khi khai triển nhị thức (1 + 2x)20 là ak=C20k.120−k.2k=C20k.2k, với k ∈ ℕ, 1 ≤ k ≤ 20. Giả sử ak là hệ số lớn nhất trong các hệ số a0, a1, a2, ..., a20. Khi đó ta có ak≥ak+1ak≥ak−1 ⇔C20k.2k≥C20k+1.2k+1C20k.2k≥C20k−1.2k−1. ⇔20!20−k!.k!≥20!.220−k−1!.k+1!20!20−k!.k!≥20!20−k+1!.k−1!.2 ⇔120−k≥2k+12k≥121−k ⇔3k≥3942≥3k ⇔k≥13k≤14⇔13≤k≤14 Mà k ∈ ℤ nên ta nhận k = 13 hoặc k = 14. Với k = 13, ta có a13=C2013.213=635 043 840 . Với k = 14, ta có a14=C2014.214=635 043 840 . Vậy hệ số lớn nhất trong khai triển (1 + 2x)20 là 635 043 840.

Câu hỏi:

19/08/2025 2,338

Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển (1 + 2x)²⁰.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có hệ số của số hạng tổng quát sau khi khai triển nhị thức (1 + 2x)²⁰ là

$a_{k} = C_{20}^{k} {.1}^{20 - k} {.2}^{k} = C_{20}^{k} {.2}^{k}$ , với k ∈ ℕ, 1 ≤ k ≤ 20.

Giả sử a_k là hệ số lớn nhất trong các hệ số a₀, a₁, a₂, ..., a₂₀.

Khi đó ta có $\{\begin{cases} a_{k} \geq a_{k + 1} \\ a_{k} \geq a_{k - 1} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} C_{20}^{k} {.2}^{k} \geq C_{20}^{k + 1} {.2}^{k + 1} \\ C_{20}^{k} {.2}^{k} \geq C_{20}^{k - 1} {.2}^{k - 1} \end{cases}$ .

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} \frac{20!}{(20 - k)! . k!} \geq \frac{20! .2}{(20 - k - 1)! . (k + 1)!} \\ \frac{20!}{(20 - k)! . k!} \geq \frac{20!}{(20 - k + 1)! . (k - 1)! .2} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} \frac{1}{20 - k} \geq \frac{2}{k + 1} \\ \frac{2}{k} \geq \frac{1}{21 - k} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 k \geq 39 \\ 42 \geq 3 k \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} k \geq 13 \\ k \leq 14 \end{cases} \Leftrightarrow 13 \leq k \leq 14$

Mà k ∈ ℤ nên ta nhận k = 13 hoặc k = 14.

Với k = 13, ta có $a_{13} = C_{20}^{13} {.2}^{13} = 635 043 840$ .

Với k = 14, ta có $a_{14} = C_{20}^{14} {.2}^{14} = 635 043 840$ .

Vậy hệ số lớn nhất trong khai triển (1 + 2x)²⁰ là 635 043 840.

Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cách vẽ hình chiếu của một điểm trên một cạnh.

Xem đáp án

Lời giải

Cách vẽ hình chiếu của một điểm trên một cạnh. (ảnh 1)

Giả sử ta cần vẽ hình chiếu của một điểm A trên cạnh BC, ta kẻ một đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với BC, đường thẳng này cắt BC tại H.

Vậy H là hình chiếu của một điểm A trên cạnh BC.

Câu 2

Cho A, B, C là ba tập hợp. Mệnh đề nào sau đây sai?

A. A ⊂ B ⇒ A ∩ C ⊂ B ∩ C.

B. A ⊂ B ⇒ C \ A ⊂ C \ B.

C. A ⊂ B ⇒ A ∪ C ⊂ B ∪ C.

D. A ⊂ B, B ⊂ C ⇒ A ⊂ C.

Lời giải

Dùng biểu đồ Ven, ta có:

$Cho A, B, C là ba tập hợp. Mệnh đề nào sau đây sai? A. A ⊂ B ⇒ A ∩ C ⊂ B ∩ C. B. A ⊂ B ⇒ C \ A ⊂ C \ B. C. A ⊂ B ⇒ A ∪ C ⊂ B ∪ C. D. A ⊂ B, B ⊂ C ⇒ A ⊂ C. (ảnh 1)$

Ta thấy A ⊂ B ⇒ C \ B ⊂ C \ A.

Suy ra phương án B sai.

Vậy ta chọn phương án B.

Câu 3