Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển (1 + 2x)20.

Ta có hệ số của số hạng tổng quát sau khi khai triển nhị thức (1 + 2x)20 là ak=C20k.120−k.2k=C20k.2k, với k ∈ ℕ, 1 ≤ k ≤ 20. Giả sử ak là hệ số lớn nhất trong các hệ số a0, a1, a2, ..., a20. Khi đó ta có ak≥ak+1ak≥ak−1 ⇔C20k.2k≥C20k+1.2k+1C20k.2k≥C20k−1.2k−1. ⇔20!20−k!.k!≥20!.220−k−1!.k+1!20!20−k!.k!≥20!20−k+1!.k−1!.2 ⇔120−k≥2k+12k≥121−k ⇔3k≥3942≥3k ⇔k≥13k≤14⇔13≤k≤14 Mà k ∈ ℤ nên ta nhận k = 13 hoặc k = 14. Với k = 13, ta có a13=C2013.213=635 043 840 . Với k = 14, ta có a14=C2014.214=635 043 840 . Vậy hệ số lớn nhất trong khai triển (1 + 2x)20 là 635 043 840.

Câu hỏi:

13/07/2024 1,316

Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển (1 + 2x)²⁰.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Sách mới 2k7: Bộ 20 đề minh họa Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. form chuẩn 2025 của Bộ giáo dục (chỉ từ 49k/cuốn).

Đề toán-lý-hóa Đề văn-sử-địa Tiếng anh & các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có hệ số của số hạng tổng quát sau khi khai triển nhị thức (1 + 2x)²⁰ là

$a_{k} = C_{20}^{k} {.1}^{20 - k} {.2}^{k} = C_{20}^{k} {.2}^{k}$ , với k ∈ ℕ, 1 ≤ k ≤ 20.

Giả sử a_k là hệ số lớn nhất trong các hệ số a₀, a₁, a₂, ..., a₂₀.

Khi đó ta có $\{\begin{cases} a_{k} \geq a_{k + 1} \\ a_{k} \geq a_{k - 1} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} C_{20}^{k} {.2}^{k} \geq C_{20}^{k + 1} {.2}^{k + 1} \\ C_{20}^{k} {.2}^{k} \geq C_{20}^{k - 1} {.2}^{k - 1} \end{cases}$ .

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} \frac{20!}{(20 - k)! . k!} \geq \frac{20! .2}{(20 - k - 1)! . (k + 1)!} \\ \frac{20!}{(20 - k)! . k!} \geq \frac{20!}{(20 - k + 1)! . (k - 1)! .2} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} \frac{1}{20 - k} \geq \frac{2}{k + 1} \\ \frac{2}{k} \geq \frac{1}{21 - k} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 k \geq 39 \\ 42 \geq 3 k \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} k \geq 13 \\ k \leq 14 \end{cases} \Leftrightarrow 13 \leq k \leq 14$

Mà k ∈ ℤ nên ta nhận k = 13 hoặc k = 14.

Với k = 13, ta có $a_{13} = C_{20}^{13} {.2}^{13} = 635 043 840$ .

Với k = 14, ta có $a_{14} = C_{20}^{14} {.2}^{14} = 635 043 840$ .

Vậy hệ số lớn nhất trong khai triển (1 + 2x)²⁰ là 635 043 840.

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cách vẽ hình chiếu của một điểm trên một cạnh.

Xem đáp án » 12/07/2024 12,962

Câu 2:

Cho A, B, C là ba tập hợp. Mệnh đề nào sau đây sai?

A. A ⊂ B ⇒ A ∩ C ⊂ B ∩ C.

B. A ⊂ B ⇒ C \ A ⊂ C \ B.

C. A ⊂ B ⇒ A ∪ C ⊂ B ∪ C.

D. A ⊂ B, B ⊂ C ⇒ A ⊂ C.

Xem đáp án » 28/06/2023 11,064

Câu 3:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y = mx⁴ + (m² – 4)x² + 2 có đúng một điểm cực đại và không có điểm cực tiểu?

A. 3.

B. 0.

C. 2.

D. 1.

Xem đáp án » 28/06/2023 4,684

Câu 4:

Cho đường tròn tâm O, dây cung AB không đi qua tâm O. Vẽ dây AC vuông góc với AB tại A. Chứng minh rằng:

a) Ba điểm B, O, C thẳng hàng.

Xem đáp án » 13/07/2024 4,347

Câu 5:

Cho bốn số nguyên dương a, b, c, d thỏa mãn a² + b² = c² + d². Chứng minh rằng a + b + c + d là hợp số.

Xem đáp án » 13/07/2024 2,826

Câu 6:

Xác định hệ số a và b để đa thức f(x) = x⁴ + ax² + b chia hết cho g(x) = x² – 3x + 2. Tìm đa thức thương.

Xem đáp án » 13/07/2024 2,816

Câu 7:

c) Gọi K là giao điểm của SC với mặt phẳng (AMN). Chứng minh AMKN có hai đường chéo vuông góc với nhau.

Xem đáp án » 13/07/2024 2,676

Xem thêm các câu hỏi khác »

Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển (1 + 2x)²⁰.

Nhà sách VIETJACK:

Bình luận

Cách vẽ hình chiếu của một điểm trên một cạnh.

Cho A, B, C là ba tập hợp. Mệnh đề nào sau đây sai?

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y = mx⁴ + (m² – 4)x² + 2 có đúng một điểm cực đại và không có điểm cực tiểu?

Cho đường tròn tâm O, dây cung AB không đi qua tâm O. Vẽ dây AC vuông góc với AB tại A. Chứng minh rằng:

a) Ba điểm B, O, C thẳng hàng.

Cho bốn số nguyên dương a, b, c, d thỏa mãn a² + b² = c² + d². Chứng minh rằng a + b + c + d là hợp số.

Xác định hệ số a và b để đa thức f(x) = x⁴ + ax² + b chia hết cho g(x) = x² – 3x + 2. Tìm đa thức thương.

c) Gọi K là giao điểm của SC với mặt phẳng (AMN). Chứng minh AMKN có hai đường chéo vuông góc với nhau.

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển (1 + 2x)20.

Nhà sách VIETJACK:

Bình luận

Cách vẽ hình chiếu của một điểm trên một cạnh.

Cho A, B, C là ba tập hợp. Mệnh đề nào sau đây sai?

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y = mx4 + (m2 – 4)x2 + 2 có đúng một điểm cực đại và không có điểm cực tiểu?

Cho đường tròn tâm O, dây cung AB không đi qua tâm O. Vẽ dây AC vuông góc với AB tại A. Chứng minh rằng: a) Ba điểm B, O, C thẳng hàng.

Cho bốn số nguyên dương a, b, c, d thỏa mãn a2 + b2 = c2 + d2. Chứng minh rằng a + b + c + d là hợp số.

Xác định hệ số a và b để đa thức f(x) = x4 + ax2 + b chia hết cho g(x) = x2 – 3x + 2. Tìm đa thức thương.

c) Gọi K là giao điểm của SC với mặt phẳng (AMN). Chứng minh AMKN có hai đường chéo vuông góc với nhau.

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển (1 + 2x)²⁰.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y = mx⁴ + (m² – 4)x² + 2 có đúng một điểm cực đại và không có điểm cực tiểu?

Cho đường tròn tâm O, dây cung AB không đi qua tâm O. Vẽ dây AC vuông góc với AB tại A. Chứng minh rằng:

a) Ba điểm B, O, C thẳng hàng.

Cho bốn số nguyên dương a, b, c, d thỏa mãn a² + b² = c² + d². Chứng minh rằng a + b + c + d là hợp số.

Xác định hệ số a và b để đa thức f(x) = x⁴ + ax² + b chia hết cho g(x) = x² – 3x + 2. Tìm đa thức thương.