Cho a, b, c > 0 và a.b.c = 1. Chứng minh rằng .1a2.b+c+1b2.c+a+1c2.a+b≥32

Đặt x=1a; y=1b; z=1c , với x, y, z > 0. Suy ra xyz=1a.1b.1c=1 . Ta có 1a2.b+c=x21y+1z=x2yzy+z=xy+z . Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành: xy+z+yz+x+zx+y≥32 . ⇔xy+z+1+yz+x+1+zx+y+1≥92. ⇔x+y+zy+z+y+z+xz+x+z+x+yx+y≥92. ⇔x+y+z1y+z+1z+x+1x+y≥92 (*) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số x, y, z > 0, ta được: x+y+z1y+z+1z+x+1x+y≥9>92. Do đó (*) luôn đúng. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = z ⇔ a = b = c. Vậy bất đẳng thức đã cho đã được chứng minh.

Câu hỏi:

19/08/2025 3,887

Cho a, b, c > 0 và a.b.c = 1. Chứng minh rằng

. $\frac{1}{a^{2} . (b + c)} + \frac{1}{b^{2} . (c + a)} + \frac{1}{c^{2} . (a + b)} \geq \frac{3}{2}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đặt $x = \frac{1}{a}; y = \frac{1}{b}; z = \frac{1}{c}$ , với x, y, z > 0.

Suy ra $x y z = \frac{1}{a} . \frac{1}{b} . \frac{1}{c} = 1$ .

Ta có $\frac{1}{a^{2} . (b + c)} = \frac{x^{2}}{\frac{1}{y} + \frac{1}{z}} = \frac{x^{2} y z}{y + z} = \frac{x}{y + z}$ .

Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành: $\frac{x}{y + z} + \frac{y}{z + x} + \frac{z}{x + y} \geq \frac{3}{2}$ .

$\Leftrightarrow (\frac{x}{y + z} + 1) + (\frac{y}{z + x} + 1) + (\frac{z}{x + y} + 1) \geq \frac{9}{2}$ .

$\Leftrightarrow \frac{x + y + z}{y + z} + \frac{y + z + x}{z + x} + \frac{z + x + y}{x + y} \geq \frac{9}{2}$ .

$\Leftrightarrow (x + y + z) (\frac{1}{y + z} + \frac{1}{z + x} + \frac{1}{x + y}) \geq \frac{9}{2} (*)$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số x, y, z > 0, ta được:

$(x + y + z) (\frac{1}{y + z} + \frac{1}{z + x} + \frac{1}{x + y}) \geq 9 > \frac{9}{2}$ .

Do đó (*) luôn đúng.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = z ⇔ a = b = c.

Vậy bất đẳng thức đã cho đã được chứng minh.

Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cách vẽ hình chiếu của một điểm trên một cạnh.

Xem đáp án

Lời giải

Cách vẽ hình chiếu của một điểm trên một cạnh. (ảnh 1)

Giả sử ta cần vẽ hình chiếu của một điểm A trên cạnh BC, ta kẻ một đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với BC, đường thẳng này cắt BC tại H.

Vậy H là hình chiếu của một điểm A trên cạnh BC.

Câu 2

Cho A, B, C là ba tập hợp. Mệnh đề nào sau đây sai?

A. A ⊂ B ⇒ A ∩ C ⊂ B ∩ C.

B. A ⊂ B ⇒ C \ A ⊂ C \ B.

C. A ⊂ B ⇒ A ∪ C ⊂ B ∪ C.

D. A ⊂ B, B ⊂ C ⇒ A ⊂ C.

Lời giải

Dùng biểu đồ Ven, ta có:

$Cho A, B, C là ba tập hợp. Mệnh đề nào sau đây sai? A. A ⊂ B ⇒ A ∩ C ⊂ B ∩ C. B. A ⊂ B ⇒ C \ A ⊂ C \ B. C. A ⊂ B ⇒ A ∪ C ⊂ B ∪ C. D. A ⊂ B, B ⊂ C ⇒ A ⊂ C. (ảnh 1)$

Ta thấy A ⊂ B ⇒ C \ B ⊂ C \ A.

Suy ra phương án B sai.

Vậy ta chọn phương án B.

Câu 3