Cho a, b, c > 0 và a.b.c = 1. Chứng minh rằng .1a2.b+c+1b2.c+a+1c2.a+b≥32

Đặt x=1a; y=1b; z=1c , với x, y, z > 0. Suy ra xyz=1a.1b.1c=1 . Ta có 1a2.b+c=x21y+1z=x2yzy+z=xy+z . Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành: xy+z+yz+x+zx+y≥32 . ⇔xy+z+1+yz+x+1+zx+y+1≥92. ⇔x+y+zy+z+y+z+xz+x+z+x+yx+y≥92. ⇔x+y+z1y+z+1z+x+1x+y≥92 (*) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số x, y, z > 0, ta được: x+y+z1y+z+1z+x+1x+y≥9>92. Do đó (*) luôn đúng. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = z ⇔ a = b = c. Vậy bất đẳng thức đã cho đã được chứng minh.

Câu hỏi:

12/07/2024 1,385

Cho a, b, c > 0 và a.b.c = 1. Chứng minh rằng

. $\frac{1}{a^{2} . (b + c)} + \frac{1}{b^{2} . (c + a)} + \frac{1}{c^{2} . (a + b)} \geq \frac{3}{2}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Bắt đầu thi

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đặt $x = \frac{1}{a}; y = \frac{1}{b}; z = \frac{1}{c}$ , với x, y, z > 0.

Suy ra $x y z = \frac{1}{a} . \frac{1}{b} . \frac{1}{c} = 1$ .

Ta có $\frac{1}{a^{2} . (b + c)} = \frac{x^{2}}{\frac{1}{y} + \frac{1}{z}} = \frac{x^{2} y z}{y + z} = \frac{x}{y + z}$ .

Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành: $\frac{x}{y + z} + \frac{y}{z + x} + \frac{z}{x + y} \geq \frac{3}{2}$ .

$\Leftrightarrow (\frac{x}{y + z} + 1) + (\frac{y}{z + x} + 1) + (\frac{z}{x + y} + 1) \geq \frac{9}{2}$ .

$\Leftrightarrow \frac{x + y + z}{y + z} + \frac{y + z + x}{z + x} + \frac{z + x + y}{x + y} \geq \frac{9}{2}$ .

$\Leftrightarrow (x + y + z) (\frac{1}{y + z} + \frac{1}{z + x} + \frac{1}{x + y}) \geq \frac{9}{2} (*)$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số x, y, z > 0, ta được:

$(x + y + z) (\frac{1}{y + z} + \frac{1}{z + x} + \frac{1}{x + y}) \geq 9 > \frac{9}{2}$ .

Do đó (*) luôn đúng.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = z ⇔ a = b = c.

Vậy bất đẳng thức đã cho đã được chứng minh.

Bình luận

Câu 1:

Cách vẽ hình chiếu của một điểm trên một cạnh.

Xem đáp án » 12/07/2024 19,685

Câu 2:

Cho A, B, C là ba tập hợp. Mệnh đề nào sau đây sai?

A. A ⊂ B ⇒ A ∩ C ⊂ B ∩ C.

B. A ⊂ B ⇒ C \ A ⊂ C \ B.

C. A ⊂ B ⇒ A ∪ C ⊂ B ∪ C.

D. A ⊂ B, B ⊂ C ⇒ A ⊂ C.

Xem đáp án » 28/06/2023 11,255

Câu 3:

Cho đường tròn tâm O, dây cung AB không đi qua tâm O. Vẽ dây AC vuông góc với AB tại A. Chứng minh rằng:

a) Ba điểm B, O, C thẳng hàng.

Xem đáp án » 13/07/2024 4,847

Câu 4:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y = mx⁴ + (m² – 4)x² + 2 có đúng một điểm cực đại và không có điểm cực tiểu?

A. 3.

B. 0.

C. 2.

D. 1.

Xem đáp án » 28/06/2023 4,786

Câu 5:

Cho phương trình x² – 5x + 3 = 0 có hai nghiệm x₁, x₂. Hãy lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là y₁ = 2x₁ – x₂; y₂ = 2x₂ – x₁.

Xem đáp án » 12/07/2024 3,720

Câu 6:

Xác định hệ số a và b để đa thức f(x) = x⁴ + ax² + b chia hết cho g(x) = x² – 3x + 2. Tìm đa thức thương.

Xem đáp án » 13/07/2024 3,677

Câu 7:

Cho bốn số nguyên dương a, b, c, d thỏa mãn a² + b² = c² + d². Chứng minh rằng a + b + c + d là hợp số.

Xem đáp án » 13/07/2024 3,402

Cho a, b, c > 0 và a.b.c = 1. Chứng minh rằng

. $\frac{1}{a^{2} . (b + c)} + \frac{1}{b^{2} . (c + a)} + \frac{1}{c^{2} . (a + b)} \geq \frac{3}{2}$

20 đề thi tốt nghiệp môn Toán (có đáp án chi tiết)

20 Bộ đề, Tổng ôn, sổ tay môn Toán (có đáp án chi tiết)

Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới)

Bộ đề thi tốt nghiệp 2025 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh, Sử, Địa, KTPL (có đáp án chi tiết)

Bình luận

Cách vẽ hình chiếu của một điểm trên một cạnh.

Cho A, B, C là ba tập hợp. Mệnh đề nào sau đây sai?

Cho đường tròn tâm O, dây cung AB không đi qua tâm O. Vẽ dây AC vuông góc với AB tại A. Chứng minh rằng:

a) Ba điểm B, O, C thẳng hàng.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y = mx⁴ + (m² – 4)x² + 2 có đúng một điểm cực đại và không có điểm cực tiểu?

Cho phương trình x² – 5x + 3 = 0 có hai nghiệm x₁, x₂. Hãy lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là y₁ = 2x₁ – x₂; y₂ = 2x₂ – x₁.

Xác định hệ số a và b để đa thức f(x) = x⁴ + ax² + b chia hết cho g(x) = x² – 3x + 2. Tìm đa thức thương.

Cho bốn số nguyên dương a, b, c, d thỏa mãn a² + b² = c² + d². Chứng minh rằng a + b + c + d là hợp số.

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

Cho a, b, c > 0 và a.b.c = 1. Chứng minh rằng .1a2.b+c+1b2.c+a+1c2.a+b≥32

Bình luận

Cách vẽ hình chiếu của một điểm trên một cạnh.

Cho A, B, C là ba tập hợp. Mệnh đề nào sau đây sai?

Cho đường tròn tâm O, dây cung AB không đi qua tâm O. Vẽ dây AC vuông góc với AB tại A. Chứng minh rằng: a) Ba điểm B, O, C thẳng hàng.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y = mx4 + (m2 – 4)x2 + 2 có đúng một điểm cực đại và không có điểm cực tiểu?

Cho phương trình x2 – 5x + 3 = 0 có hai nghiệm x1, x2. Hãy lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là y1 = 2x1 – x2; y2 = 2x2 – x1.

Xác định hệ số a và b để đa thức f(x) = x4 + ax2 + b chia hết cho g(x) = x2 – 3x + 2. Tìm đa thức thương.

Cho bốn số nguyên dương a, b, c, d thỏa mãn a2 + b2 = c2 + d2. Chứng minh rằng a + b + c + d là hợp số.

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho a, b, c > 0 và a.b.c = 1. Chứng minh rằng

. $\frac{1}{a^{2} . (b + c)} + \frac{1}{b^{2} . (c + a)} + \frac{1}{c^{2} . (a + b)} \geq \frac{3}{2}$

Cho đường tròn tâm O, dây cung AB không đi qua tâm O. Vẽ dây AC vuông góc với AB tại A. Chứng minh rằng:

a) Ba điểm B, O, C thẳng hàng.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y = mx⁴ + (m² – 4)x² + 2 có đúng một điểm cực đại và không có điểm cực tiểu?

Cho phương trình x² – 5x + 3 = 0 có hai nghiệm x₁, x₂. Hãy lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là y₁ = 2x₁ – x₂; y₂ = 2x₂ – x₁.

Xác định hệ số a và b để đa thức f(x) = x⁴ + ax² + b chia hết cho g(x) = x² – 3x + 2. Tìm đa thức thương.

Cho bốn số nguyên dương a, b, c, d thỏa mãn a² + b² = c² + d². Chứng minh rằng a + b + c + d là hợp số.