Cho a, b, c > 0 và a.b.c = 1. Chứng minh rằng .1a2.b+c+1b2.c+a+1c2.a+b≥32

Đặt x=1a; y=1b; z=1c , với x, y, z > 0. Suy ra xyz=1a.1b.1c=1 . Ta có 1a2.b+c=x21y+1z=x2yzy+z=xy+z . Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành: xy+z+yz+x+zx+y≥32 . ⇔xy+z+1+yz+x+1+zx+y+1≥92. ⇔x+y+zy+z+y+z+xz+x+z+x+yx+y≥92. ⇔x+y+z1y+z+1z+x+1x+y≥92 (*) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số x, y, z > 0, ta được: x+y+z1y+z+1z+x+1x+y≥9>92. Do đó (*) luôn đúng. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = z ⇔ a = b = c. Vậy bất đẳng thức đã cho đã được chứng minh.

Câu hỏi:

12/07/2024 1,115

Cho a, b, c > 0 và a.b.c = 1. Chứng minh rằng

. $\frac{1}{a^{2} . (b + c)} + \frac{1}{b^{2} . (c + a)} + \frac{1}{c^{2} . (a + b)} \geq \frac{3}{2}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Sách mới 2k7: Bộ 20 đề minh họa Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. form chuẩn 2025 của Bộ giáo dục (chỉ từ 49k/cuốn).

Đề toán-lý-hóa Đề văn-sử-địa Tiếng anh & các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đặt $x = \frac{1}{a}; y = \frac{1}{b}; z = \frac{1}{c}$ , với x, y, z > 0.

Suy ra $x y z = \frac{1}{a} . \frac{1}{b} . \frac{1}{c} = 1$ .

Ta có $\frac{1}{a^{2} . (b + c)} = \frac{x^{2}}{\frac{1}{y} + \frac{1}{z}} = \frac{x^{2} y z}{y + z} = \frac{x}{y + z}$ .

Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành: $\frac{x}{y + z} + \frac{y}{z + x} + \frac{z}{x + y} \geq \frac{3}{2}$ .

$\Leftrightarrow (\frac{x}{y + z} + 1) + (\frac{y}{z + x} + 1) + (\frac{z}{x + y} + 1) \geq \frac{9}{2}$ .

$\Leftrightarrow \frac{x + y + z}{y + z} + \frac{y + z + x}{z + x} + \frac{z + x + y}{x + y} \geq \frac{9}{2}$ .

$\Leftrightarrow (x + y + z) (\frac{1}{y + z} + \frac{1}{z + x} + \frac{1}{x + y}) \geq \frac{9}{2} (*)$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số x, y, z > 0, ta được:

$(x + y + z) (\frac{1}{y + z} + \frac{1}{z + x} + \frac{1}{x + y}) \geq 9 > \frac{9}{2}$ .

Do đó (*) luôn đúng.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = z ⇔ a = b = c.

Vậy bất đẳng thức đã cho đã được chứng minh.

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cách vẽ hình chiếu của một điểm trên một cạnh.

Xem đáp án » 12/07/2024 13,362

Câu 2:

Cho A, B, C là ba tập hợp. Mệnh đề nào sau đây sai?

A. A ⊂ B ⇒ A ∩ C ⊂ B ∩ C.

B. A ⊂ B ⇒ C \ A ⊂ C \ B.

C. A ⊂ B ⇒ A ∪ C ⊂ B ∪ C.

D. A ⊂ B, B ⊂ C ⇒ A ⊂ C.

Xem đáp án » 28/06/2023 11,077

Câu 3:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y = mx⁴ + (m² – 4)x² + 2 có đúng một điểm cực đại và không có điểm cực tiểu?

A. 3.

B. 0.

C. 2.

D. 1.

Xem đáp án » 28/06/2023 4,688

Câu 4:

Cho đường tròn tâm O, dây cung AB không đi qua tâm O. Vẽ dây AC vuông góc với AB tại A. Chứng minh rằng:

a) Ba điểm B, O, C thẳng hàng.

Xem đáp án » 13/07/2024 4,372

Câu 5:

Cho bốn số nguyên dương a, b, c, d thỏa mãn a² + b² = c² + d². Chứng minh rằng a + b + c + d là hợp số.

Xem đáp án » 13/07/2024 2,884

Câu 6:

Xác định hệ số a và b để đa thức f(x) = x⁴ + ax² + b chia hết cho g(x) = x² – 3x + 2. Tìm đa thức thương.

Xem đáp án » 13/07/2024 2,856

Câu 7:

c) Gọi K là giao điểm của SC với mặt phẳng (AMN). Chứng minh AMKN có hai đường chéo vuông góc với nhau.

Xem đáp án » 13/07/2024 2,710

Xem thêm các câu hỏi khác »

Cho a, b, c > 0 và a.b.c = 1. Chứng minh rằng

. $\frac{1}{a^{2} . (b + c)} + \frac{1}{b^{2} . (c + a)} + \frac{1}{c^{2} . (a + b)} \geq \frac{3}{2}$

Nhà sách VIETJACK:

Bình luận

Cách vẽ hình chiếu của một điểm trên một cạnh.

Cho A, B, C là ba tập hợp. Mệnh đề nào sau đây sai?

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y = mx⁴ + (m² – 4)x² + 2 có đúng một điểm cực đại và không có điểm cực tiểu?

Cho đường tròn tâm O, dây cung AB không đi qua tâm O. Vẽ dây AC vuông góc với AB tại A. Chứng minh rằng:

a) Ba điểm B, O, C thẳng hàng.

Cho bốn số nguyên dương a, b, c, d thỏa mãn a² + b² = c² + d². Chứng minh rằng a + b + c + d là hợp số.

Xác định hệ số a và b để đa thức f(x) = x⁴ + ax² + b chia hết cho g(x) = x² – 3x + 2. Tìm đa thức thương.

c) Gọi K là giao điểm của SC với mặt phẳng (AMN). Chứng minh AMKN có hai đường chéo vuông góc với nhau.

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

Cho a, b, c > 0 và a.b.c = 1. Chứng minh rằng .1a2.b+c+1b2.c+a+1c2.a+b≥32

Nhà sách VIETJACK:

Bình luận

Cách vẽ hình chiếu của một điểm trên một cạnh.

Cho A, B, C là ba tập hợp. Mệnh đề nào sau đây sai?

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y = mx4 + (m2 – 4)x2 + 2 có đúng một điểm cực đại và không có điểm cực tiểu?

Cho đường tròn tâm O, dây cung AB không đi qua tâm O. Vẽ dây AC vuông góc với AB tại A. Chứng minh rằng: a) Ba điểm B, O, C thẳng hàng.

Cho bốn số nguyên dương a, b, c, d thỏa mãn a2 + b2 = c2 + d2. Chứng minh rằng a + b + c + d là hợp số.

Xác định hệ số a và b để đa thức f(x) = x4 + ax2 + b chia hết cho g(x) = x2 – 3x + 2. Tìm đa thức thương.

c) Gọi K là giao điểm của SC với mặt phẳng (AMN). Chứng minh AMKN có hai đường chéo vuông góc với nhau.

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho a, b, c > 0 và a.b.c = 1. Chứng minh rằng

. $\frac{1}{a^{2} . (b + c)} + \frac{1}{b^{2} . (c + a)} + \frac{1}{c^{2} . (a + b)} \geq \frac{3}{2}$

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y = mx⁴ + (m² – 4)x² + 2 có đúng một điểm cực đại và không có điểm cực tiểu?

Cho đường tròn tâm O, dây cung AB không đi qua tâm O. Vẽ dây AC vuông góc với AB tại A. Chứng minh rằng:

a) Ba điểm B, O, C thẳng hàng.

Cho bốn số nguyên dương a, b, c, d thỏa mãn a² + b² = c² + d². Chứng minh rằng a + b + c + d là hợp số.

Xác định hệ số a và b để đa thức f(x) = x⁴ + ax² + b chia hết cho g(x) = x² – 3x + 2. Tìm đa thức thương.