Câu hỏi:

12/07/2024 1,105

Cho a, b, c > 0 và a.b.c = 1. Chứng minh rằng

.1a2.b+c+1b2.c+a+1c2.a+b32

Sách mới 2k7: Bộ 20 đề minh họa Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. form chuẩn 2025 của Bộ giáo dục (chỉ từ 49k/cuốn).

Đề toán-lý-hóa Đề văn-sử-địa Tiếng anh & các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Đặt x=1a;  y=1b;  z=1c , với x, y, z > 0.

Suy ra xyz=1a.1b.1c=1 .

Ta có 1a2.b+c=x21y+1z=x2yzy+z=xy+z  .

Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành: xy+z+yz+x+zx+y32 .

xy+z+1+yz+x+1+zx+y+192.

x+y+zy+z+y+z+xz+x+z+x+yx+y92.

  x+y+z1y+z+1z+x+1x+y92 (*)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số x, y, z > 0, ta được:

x+y+z1y+z+1z+x+1x+y9>92.

Do đó (*) luôn đúng.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = z a = b = c.

Vậy bất đẳng thức đã cho đã được chứng minh.

Bình luận


Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cách vẽ hình chiếu của một điểm trên một cạnh.

Xem đáp án » 12/07/2024 12,962

Câu 2:

Cho A, B, C là ba tập hợp. Mệnh đề nào sau đây sai?

Xem đáp án » 28/06/2023 11,064

Câu 3:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y = mx4 + (m2 – 4)x2 + 2 có đúng một điểm cực đại và không có điểm cực tiểu?

Xem đáp án » 28/06/2023 4,684

Câu 4:

Cho đường tròn tâm O, dây cung AB không đi qua tâm O. Vẽ dây AC vuông góc với AB tại A. Chứng minh rằng:

a) Ba điểm B, O, C thẳng hàng.

Xem đáp án » 13/07/2024 4,347

Câu 5:

Cho bốn số nguyên dương a, b, c, d thỏa mãn a2 + b2 = c2 + d2. Chứng minh rằng a + b + c + d là hợp số.

Xem đáp án » 13/07/2024 2,826

Câu 6:

Xác định hệ số a và b để đa thức f(x) = x4 + ax2 + b chia hết cho g(x) = x2 – 3x + 2. Tìm đa thức thương.

Xem đáp án » 13/07/2024 2,816

Câu 7:

c) Gọi K là giao điểm của SC với mặt phẳng (AMN). Chứng minh AMKN có hai đường chéo vuông góc với nhau.

Xem đáp án » 13/07/2024 2,676