Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh rằng a4a3+2b3+b4b3+2c3+c4c3+2d3+d4d3+2a3≥a+b+c+d3

Vì a, b, c > 0 nên a3, b3, c3 > 0. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số a3, b3, c3, ta được: a3+b3+c3≥3a3.b3.c33 . ⇒1a3+b3+c3≤13a3.b3.c33. ⇒−1a3+b3+c3≥−13a3.b3.c33. Ta có a4a3+2b3=a−2ab3a3+b3+b3≥a−2ab33a3.b3.b33=a−23b(1) Chứng minh tương tự, ta được: ⦁ b4b3+2c3≥b−23c (2) ⦁ c4c3+2d3≥c−23d (3) ⦁ d4d3+2a3≥d−23a (4) Lấy (1) + (2) + (3) + (4) vế theo vế, ta được: a4a3+2b3+b4b3+2c3+c4c3+2d3+d4d3+2a3≥a3+b3+c3+d3=a+b+c+d3. Vậy ta có điều phải chứng minh.

Câu hỏi:

12/07/2024 1,189

Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh rằng $\frac{a^{4}}{a^{3} + 2 b^{3}} + \frac{b^{4}}{b^{3} + 2 c^{3}} + \frac{c^{4}}{c^{3} + 2 d^{3}} + \frac{d^{4}}{d^{3} + 2 a^{3}} \geq \frac{a + b + c + d}{3}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Bắt đầu thi

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Vì a, b, c > 0 nên a³, b³, c³ > 0.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số a³, b³, c³, ta được: $a^{3} + b^{3} + c^{3} \geq 3 \sqrt[3]{a^{3} . b^{3} . c^{3}}$ .

$\Rightarrow \frac{1}{a^{3} + b^{3} + c^{3}} \leq \frac{1}{3 \sqrt[3]{a^{3} . b^{3} . c^{3}}}$ .

$\Rightarrow - \frac{1}{a^{3} + b^{3} + c^{3}} \geq - \frac{1}{3 \sqrt[3]{a^{3} . b^{3} . c^{3}}}$ .

Ta có $\frac{a^{4}}{a^{3} + 2 b^{3}} = a - \frac{2 a b^{3}}{a^{3} + b^{3} + b^{3}} \geq a - \frac{2 a b^{3}}{3 \sqrt[3]{a^{3} . b^{3} . b^{3}}} = a - \frac{2}{3} b$ (1)

Chứng minh tương tự, ta được:

⦁ $\frac{b^{4}}{b^{3} + 2 c^{3}} \geq b - \frac{2}{3} c$ (2)

⦁ $\frac{c^{4}}{c^{3} + 2 d^{3}} \geq c - \frac{2}{3} d$ (3)

⦁ $\frac{d^{4}}{d^{3} + 2 a^{3}} \geq d - \frac{2}{3} a$ (4)

Lấy (1) + (2) + (3) + (4) vế theo vế, ta được:

$\frac{a^{4}}{a^{3} + 2 b^{3}} + \frac{b^{4}}{b^{3} + 2 c^{3}} + \frac{c^{4}}{c^{3} + 2 d^{3}} + \frac{d^{4}}{d^{3} + 2 a^{3}} \geq \frac{a}{3} + \frac{b}{3} + \frac{c}{3} + \frac{d}{3} = \frac{a + b + c + d}{3}$ .

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Bình luận

Câu 1:

Cách vẽ hình chiếu của một điểm trên một cạnh.

Xem đáp án » 12/07/2024 20,618

Câu 2:

Cho A, B, C là ba tập hợp. Mệnh đề nào sau đây sai?

A. A ⊂ B ⇒ A ∩ C ⊂ B ∩ C.

B. A ⊂ B ⇒ C \ A ⊂ C \ B.

C. A ⊂ B ⇒ A ∪ C ⊂ B ∪ C.

D. A ⊂ B, B ⊂ C ⇒ A ⊂ C.

Xem đáp án » 28/06/2023 11,294

Câu 3:

Cho đường tròn tâm O, dây cung AB không đi qua tâm O. Vẽ dây AC vuông góc với AB tại A. Chứng minh rằng:

a) Ba điểm B, O, C thẳng hàng.

Xem đáp án » 13/07/2024 4,955

Câu 4:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y = mx⁴ + (m² – 4)x² + 2 có đúng một điểm cực đại và không có điểm cực tiểu?

A. 3.

B. 0.

C. 2.

D. 1.

Xem đáp án » 28/06/2023 4,812

Câu 5:

Cho phương trình x² – 5x + 3 = 0 có hai nghiệm x₁, x₂. Hãy lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là y₁ = 2x₁ – x₂; y₂ = 2x₂ – x₁.

Xem đáp án » 12/07/2024 4,205

Câu 6:

Xác định hệ số a và b để đa thức f(x) = x⁴ + ax² + b chia hết cho g(x) = x² – 3x + 2. Tìm đa thức thương.

Xem đáp án » 13/07/2024 3,705

Câu 7:

Cho bốn số nguyên dương a, b, c, d thỏa mãn a² + b² = c² + d². Chứng minh rằng a + b + c + d là hợp số.

Xem đáp án » 13/07/2024 3,450

Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh rằng $\frac{a^{4}}{a^{3} + 2 b^{3}} + \frac{b^{4}}{b^{3} + 2 c^{3}} + \frac{c^{4}}{c^{3} + 2 d^{3}} + \frac{d^{4}}{d^{3} + 2 a^{3}} \geq \frac{a + b + c + d}{3}$

20 Bộ đề, Tổng ôn, sổ tay môn Toán (có đáp án chi tiết)

20 đề thi tốt nghiệp môn Toán (có đáp án chi tiết)

Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới)

Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội, TP Hồ Chí Minh (2 cuốn)

Bình luận

Cách vẽ hình chiếu của một điểm trên một cạnh.

Cho A, B, C là ba tập hợp. Mệnh đề nào sau đây sai?

Cho đường tròn tâm O, dây cung AB không đi qua tâm O. Vẽ dây AC vuông góc với AB tại A. Chứng minh rằng:

a) Ba điểm B, O, C thẳng hàng.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y = mx⁴ + (m² – 4)x² + 2 có đúng một điểm cực đại và không có điểm cực tiểu?

Cho phương trình x² – 5x + 3 = 0 có hai nghiệm x₁, x₂. Hãy lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là y₁ = 2x₁ – x₂; y₂ = 2x₂ – x₁.

Xác định hệ số a và b để đa thức f(x) = x⁴ + ax² + b chia hết cho g(x) = x² – 3x + 2. Tìm đa thức thương.

Cho bốn số nguyên dương a, b, c, d thỏa mãn a² + b² = c² + d². Chứng minh rằng a + b + c + d là hợp số.

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh rằng a4a3+2b3+b4b3+2c3+c4c3+2d3+d4d3+2a3≥a+b+c+d3

Bình luận

Cách vẽ hình chiếu của một điểm trên một cạnh.

Cho A, B, C là ba tập hợp. Mệnh đề nào sau đây sai?

Cho đường tròn tâm O, dây cung AB không đi qua tâm O. Vẽ dây AC vuông góc với AB tại A. Chứng minh rằng: a) Ba điểm B, O, C thẳng hàng.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y = mx4 + (m2 – 4)x2 + 2 có đúng một điểm cực đại và không có điểm cực tiểu?

Cho phương trình x2 – 5x + 3 = 0 có hai nghiệm x1, x2. Hãy lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là y1 = 2x1 – x2; y2 = 2x2 – x1.

Xác định hệ số a và b để đa thức f(x) = x4 + ax2 + b chia hết cho g(x) = x2 – 3x + 2. Tìm đa thức thương.

Cho bốn số nguyên dương a, b, c, d thỏa mãn a2 + b2 = c2 + d2. Chứng minh rằng a + b + c + d là hợp số.

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh rằng $\frac{a^{4}}{a^{3} + 2 b^{3}} + \frac{b^{4}}{b^{3} + 2 c^{3}} + \frac{c^{4}}{c^{3} + 2 d^{3}} + \frac{d^{4}}{d^{3} + 2 a^{3}} \geq \frac{a + b + c + d}{3}$

Cho đường tròn tâm O, dây cung AB không đi qua tâm O. Vẽ dây AC vuông góc với AB tại A. Chứng minh rằng:

a) Ba điểm B, O, C thẳng hàng.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y = mx⁴ + (m² – 4)x² + 2 có đúng một điểm cực đại và không có điểm cực tiểu?

Cho phương trình x² – 5x + 3 = 0 có hai nghiệm x₁, x₂. Hãy lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là y₁ = 2x₁ – x₂; y₂ = 2x₂ – x₁.

Xác định hệ số a và b để đa thức f(x) = x⁴ + ax² + b chia hết cho g(x) = x² – 3x + 2. Tìm đa thức thương.

Cho bốn số nguyên dương a, b, c, d thỏa mãn a² + b² = c² + d². Chứng minh rằng a + b + c + d là hợp số.