Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh rằng a4a3+2b3+b4b3+2c3+c4c3+2d3+d4d3+2a3≥a+b+c+d3

Vì a, b, c > 0 nên a3, b3, c3 > 0. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số a3, b3, c3, ta được: a3+b3+c3≥3a3.b3.c33 . ⇒1a3+b3+c3≤13a3.b3.c33. ⇒−1a3+b3+c3≥−13a3.b3.c33. Ta có a4a3+2b3=a−2ab3a3+b3+b3≥a−2ab33a3.b3.b33=a−23b(1) Chứng minh tương tự, ta được: ⦁ b4b3+2c3≥b−23c (2) ⦁ c4c3+2d3≥c−23d (3) ⦁ d4d3+2a3≥d−23a (4) Lấy (1) + (2) + (3) + (4) vế theo vế, ta được: a4a3+2b3+b4b3+2c3+c4c3+2d3+d4d3+2a3≥a3+b3+c3+d3=a+b+c+d3. Vậy ta có điều phải chứng minh.

Câu hỏi:

12/07/2024 1,143

Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh rằng $\frac{a^{4}}{a^{3} + 2 b^{3}} + \frac{b^{4}}{b^{3} + 2 c^{3}} + \frac{c^{4}}{c^{3} + 2 d^{3}} + \frac{d^{4}}{d^{3} + 2 a^{3}} \geq \frac{a + b + c + d}{3}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Vì a, b, c > 0 nên a³, b³, c³ > 0.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số a³, b³, c³, ta được: $a^{3} + b^{3} + c^{3} \geq 3 \sqrt[3]{a^{3} . b^{3} . c^{3}}$ .

$\Rightarrow \frac{1}{a^{3} + b^{3} + c^{3}} \leq \frac{1}{3 \sqrt[3]{a^{3} . b^{3} . c^{3}}}$ .

$\Rightarrow - \frac{1}{a^{3} + b^{3} + c^{3}} \geq - \frac{1}{3 \sqrt[3]{a^{3} . b^{3} . c^{3}}}$ .

Ta có $\frac{a^{4}}{a^{3} + 2 b^{3}} = a - \frac{2 a b^{3}}{a^{3} + b^{3} + b^{3}} \geq a - \frac{2 a b^{3}}{3 \sqrt[3]{a^{3} . b^{3} . b^{3}}} = a - \frac{2}{3} b$ (1)

Chứng minh tương tự, ta được:

⦁ $\frac{b^{4}}{b^{3} + 2 c^{3}} \geq b - \frac{2}{3} c$ (2)

⦁ $\frac{c^{4}}{c^{3} + 2 d^{3}} \geq c - \frac{2}{3} d$ (3)

⦁ $\frac{d^{4}}{d^{3} + 2 a^{3}} \geq d - \frac{2}{3} a$ (4)

Lấy (1) + (2) + (3) + (4) vế theo vế, ta được:

$\frac{a^{4}}{a^{3} + 2 b^{3}} + \frac{b^{4}}{b^{3} + 2 c^{3}} + \frac{c^{4}}{c^{3} + 2 d^{3}} + \frac{d^{4}}{d^{3} + 2 a^{3}} \geq \frac{a}{3} + \frac{b}{3} + \frac{c}{3} + \frac{d}{3} = \frac{a + b + c + d}{3}$ .

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Sách thầy cô Vietjack biên soạn

Xem thêm »

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cách vẽ hình chiếu của một điểm trên một cạnh.

Xem đáp án » 12/07/2024 18,151

Câu 2:

Cho A, B, C là ba tập hợp. Mệnh đề nào sau đây sai?

A. A ⊂ B ⇒ A ∩ C ⊂ B ∩ C.

B. A ⊂ B ⇒ C \ A ⊂ C \ B.

C. A ⊂ B ⇒ A ∪ C ⊂ B ∪ C.

D. A ⊂ B, B ⊂ C ⇒ A ⊂ C.

Xem đáp án » 28/06/2023 11,212

Câu 3:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y = mx⁴ + (m² – 4)x² + 2 có đúng một điểm cực đại và không có điểm cực tiểu?

A. 3.

B. 0.

C. 2.

D. 1.

Xem đáp án » 28/06/2023 4,764

Câu 4:

Cho đường tròn tâm O, dây cung AB không đi qua tâm O. Vẽ dây AC vuông góc với AB tại A. Chứng minh rằng:

a) Ba điểm B, O, C thẳng hàng.

Xem đáp án » 13/07/2024 4,718

Câu 5:

Xác định hệ số a và b để đa thức f(x) = x⁴ + ax² + b chia hết cho g(x) = x² – 3x + 2. Tìm đa thức thương.

Xem đáp án » 13/07/2024 3,503

Câu 6:

Cho bốn số nguyên dương a, b, c, d thỏa mãn a² + b² = c² + d². Chứng minh rằng a + b + c + d là hợp số.

Xem đáp án » 13/07/2024 3,266

Câu 7:

Cho phương trình x² – 5x + 3 = 0 có hai nghiệm x₁, x₂. Hãy lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là y₁ = 2x₁ – x₂; y₂ = 2x₂ – x₁.

Xem đáp án » 12/07/2024 3,249

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh rằng a4a3+2b3+b4b3+2c3+c4c3+2d3+d4d3+2a3≥a+b+c+d3

Bình luận

Cách vẽ hình chiếu của một điểm trên một cạnh.

Cho A, B, C là ba tập hợp. Mệnh đề nào sau đây sai?

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y = mx4 + (m2 – 4)x2 + 2 có đúng một điểm cực đại và không có điểm cực tiểu?

Cho đường tròn tâm O, dây cung AB không đi qua tâm O. Vẽ dây AC vuông góc với AB tại A. Chứng minh rằng: a) Ba điểm B, O, C thẳng hàng.

Xác định hệ số a và b để đa thức f(x) = x4 + ax2 + b chia hết cho g(x) = x2 – 3x + 2. Tìm đa thức thương.

Cho bốn số nguyên dương a, b, c, d thỏa mãn a2 + b2 = c2 + d2. Chứng minh rằng a + b + c + d là hợp số.

Cho phương trình x2 – 5x + 3 = 0 có hai nghiệm x1, x2. Hãy lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là y1 = 2x1 – x2; y2 = 2x2 – x1.

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh rằng $\frac{a^{4}}{a^{3} + 2 b^{3}} + \frac{b^{4}}{b^{3} + 2 c^{3}} + \frac{c^{4}}{c^{3} + 2 d^{3}} + \frac{d^{4}}{d^{3} + 2 a^{3}} \geq \frac{a + b + c + d}{3}$

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y = mx⁴ + (m² – 4)x² + 2 có đúng một điểm cực đại và không có điểm cực tiểu?

Cho đường tròn tâm O, dây cung AB không đi qua tâm O. Vẽ dây AC vuông góc với AB tại A. Chứng minh rằng:

a) Ba điểm B, O, C thẳng hàng.

Xác định hệ số a và b để đa thức f(x) = x⁴ + ax² + b chia hết cho g(x) = x² – 3x + 2. Tìm đa thức thương.

Cho bốn số nguyên dương a, b, c, d thỏa mãn a² + b² = c² + d². Chứng minh rằng a + b + c + d là hợp số.

Cho phương trình x² – 5x + 3 = 0 có hai nghiệm x₁, x₂. Hãy lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là y₁ = 2x₁ – x₂; y₂ = 2x₂ – x₁.