Cho xy + yz + zx = 0 và xyz ≠ 0. Tính giá trị biểu thức: M=yzx2+xzy2+xyz2.

Ta có: xy + yz + xz = 0 Chia cả 2 vế của đẳng thức trên cho xyz ≠ 0, ta được: 1x+1y+1z=0 Nhận xét: Chú ý rằng nếu x + y + z = 0 (1) thì x3 + y3 + z3 = 3xyz (*) Thật vậy, từ (1) Þ z = -(x + y) Do đó, x3 + y3 + z3 = x3 + y3 - (x + y)3 = -3x2y - 3xy2 = -3xy(x + y) = 3xyz Vậy, đẳng thức (*) được chứng minh Áp dụng nhận xét trên, ta có: Nếu 1x+1y+1z=0 thì 1x3+1y3+1z3=3.1x.1y.1z=3xyz Do đó M = yzx2+xzy2+xyz2=xyzx3+xyzy3+xyzz3=xyz1x3+1y3+1z3 =xyz.3xyz=3 (x, y, z ≠ 0) Vậy M=yzx2+xzy2+xyz2=3.

Câu hỏi:

12/07/2024 1,772

Cho xy + yz + zx = 0 và xyz ≠ 0. Tính giá trị biểu thức:

$M = \frac{y z}{x^{2}} + \frac{x z}{y^{2}} + \frac{x y}{z^{2}}$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Sách mới 2k7: 30 đề đánh giá năng lực DHQG Hà Nội, Tp. Hồ Chí Minh, BKHN 2025 mới nhất (chỉ từ 110k).

Mua bộ đề Hà Nội Mua bộ đề Tp. Hồ Chí Minh Mua đề Bách Khoa

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có: xy + yz + xz = 0

Chia cả 2 vế của đẳng thức trên cho xyz ≠ 0, ta được:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 0$

Nhận xét: Chú ý rằng nếu x + y + z = 0 (1) thì x³ + y³ + z³ = 3xyz (*)

Thật vậy, từ (1) Þ z = -(x + y)

Do đó, x³ + y³ + z³ = x³ + y³ - (x + y)³ = -3x²y - 3xy² = -3xy(x + y) = 3xyz

Vậy, đẳng thức (*) được chứng minh

Áp dụng nhận xét trên, ta có:

Nếu $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 0$ thì $\frac{1}{x^{3}} + \frac{1}{y^{3}} + \frac{1}{z^{3}} = 3. \frac{1}{x} . \frac{1}{y} . \frac{1}{z} = \frac{3}{x y z}$

Do đó M = $\frac{y z}{x^{2}} + \frac{x z}{y^{2}} + \frac{x y}{z^{2}} = \frac{x y z}{x^{3}} + \frac{x y z}{y^{3}} + \frac{x y z}{z^{3}} = x y z (\frac{1}{x^{3}} + \frac{1}{y^{3}} + \frac{1}{z^{3}})$

$= x y z . \frac{3}{x y z} = 3$ (x, y, z ≠ 0)

Vậy $M = \frac{y z}{x^{2}} + \frac{x z}{y^{2}} + \frac{x y}{z^{2}} = 3$ .

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Một hình chữ nhật có chiều rộng 8 cm, chiều dài gấp 3 lần chiều rộng. Tính diện tích và chu vi hình đó.

Xem đáp án » 13/07/2024 4,323

Câu 2:

Tìm số tự nhiên nhỏ nhất chia cho 5, 7, 9 có số dư lần lượt là 3, 4, 5.

Xem đáp án » 11/07/2024 4,296

Câu 3:

Trong hộp có ba loại bi là bi trắng, bi xanh và bi đỏ. Biết tổng số viên bi trong hộp nhiều hơn tổng số bi trắng và viên bi đỏ là 48 viên bi, số viên bi xanh nhiều hơn bi viên bi trắng 5 viên và ít hơn viên bi đỏ 12 viên. Tính tổng số viên bi trong hộp ?

Xem đáp án » 13/07/2024 4,049

Câu 4:

Đâu là cạnh kề cạnh đối cạnh huyền trên tam giác vuông

Xem đáp án » 13/07/2024 3,365

Câu 5:

Bố hơn con 30 tuổi, biết 5 năm nữa tổng số tuổi của hai bố con là 62 tuổi. Tính tuổi 2 bố con hiện nay.

Xem đáp án » 13/07/2024 2,872

Câu 6:

Một thửa ruộng hình chữ nhật có chu vi 96 m, chiều rộng ngắn hơn chiều dài 30 m. Tính diện tích của thửa ruộng ?

Xem đáp án » 13/07/2024 2,863

Câu 7:

Tổng của hai số là 10,2. Nếu gấp số thứ nhất lên 3 lần và gấp số thứ hai lên 5 lần thì tổng của hai số là 41,4. Tìm hai số đó.

Xem đáp án » 13/07/2024 2,774

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bình luận

Hỏi bài tập

🔥 Đề thi HOT:

Đăng ký gói thi VIP