Cho xy + yz + zx = 0 và xyz ≠ 0. Tính giá trị biểu thức: M=yzx2+xzy2+xyz2.

Ta có: xy + yz + xz = 0 Chia cả 2 vế của đẳng thức trên cho xyz ≠ 0, ta được: 1x+1y+1z=0 Nhận xét: Chú ý rằng nếu x + y + z = 0 (1) thì x3 + y3 + z3 = 3xyz (*) Thật vậy, từ (1) Þ z = -(x + y) Do đó, x3 + y3 + z3 = x3 + y3 - (x + y)3 = -3x2y - 3xy2 = -3xy(x + y) = 3xyz Vậy, đẳng thức (*) được chứng minh Áp dụng nhận xét trên, ta có: Nếu 1x+1y+1z=0 thì 1x3+1y3+1z3=3.1x.1y.1z=3xyz Do đó M = yzx2+xzy2+xyz2=xyzx3+xyzy3+xyzz3=xyz1x3+1y3+1z3 =xyz.3xyz=3 (x, y, z ≠ 0) Vậy M=yzx2+xzy2+xyz2=3.

Câu hỏi:

19/08/2025 2,921

Cho xy + yz + zx = 0 và xyz ≠ 0. Tính giá trị biểu thức:

$M = \frac{y z}{x^{2}} + \frac{x z}{y^{2}} + \frac{x y}{z^{2}}$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có: xy + yz + xz = 0

Chia cả 2 vế của đẳng thức trên cho xyz ≠ 0, ta được:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 0$

Nhận xét: Chú ý rằng nếu x + y + z = 0 (1) thì x³ + y³ + z³ = 3xyz (*)

Thật vậy, từ (1) Þ z = -(x + y)

Do đó, x³ + y³ + z³ = x³ + y³ - (x + y)³ = -3x²y - 3xy² = -3xy(x + y) = 3xyz

Vậy, đẳng thức (*) được chứng minh

Áp dụng nhận xét trên, ta có:

Nếu $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 0$ thì $\frac{1}{x^{3}} + \frac{1}{y^{3}} + \frac{1}{z^{3}} = 3. \frac{1}{x} . \frac{1}{y} . \frac{1}{z} = \frac{3}{x y z}$

Do đó M = $\frac{y z}{x^{2}} + \frac{x z}{y^{2}} + \frac{x y}{z^{2}} = \frac{x y z}{x^{3}} + \frac{x y z}{y^{3}} + \frac{x y z}{z^{3}} = x y z (\frac{1}{x^{3}} + \frac{1}{y^{3}} + \frac{1}{z^{3}})$

$= x y z . \frac{3}{x y z} = 3$ (x, y, z ≠ 0)

Vậy $M = \frac{y z}{x^{2}} + \frac{x z}{y^{2}} + \frac{x y}{z^{2}} = 3$ .

Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Một hình chữ nhật có chiều rộng 8 cm, chiều dài gấp 3 lần chiều rộng. Tính diện tích và chu vi hình đó.

Xem đáp án

Lời giải

Chiều dài hình chữ nhật là:

8 × 3 = 24 (cm)

Diện tích hình chữ nhật là:

8 × 24 = 192 (cm²)

Chu vi hình chữ nhật là:
(24 + 8) × 2 = 64 (cm)

Đáp số: Diện tích là 192 cm²

Chu vi là 64 cm

Câu 2

Tìm số tự nhiên nhỏ nhất chia cho 5, 7, 9 có số dư lần lượt là 3, 4, 5.

Xem đáp án

Lời giải

Gọi số cần tìm là a

Giả sử a : 5 được b dư 3

Þ a = 5b + 3

Þ 2a = 10b + 6 = 10b + 5 + 1

Û 2a - 1 = 10b + 5 hay (2a - 1) ⋮ 5 (1)

Giả sử a : 7 được c dư 4

Þ a = 7c + 4

Þ 2a = 14c + 8 = 14c + 7 + 1

Þ 2a - 1 = 14c + 7 hay (2a - 1) ⋮ 7 (2)

Giả sử a : 9 được d dư 5

Þ a = 9d + 5

Þ 2a = 18d + 10 = 18d + 9 + 1

Þ 2a - 1 = 18d + 9 hay (2a - 1) ⋮ 9 (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra (2a - 1) chia hết cho 5, 7 và 9.

Vì đề yêu cầu tìm số tự nhiên nhỏ nhất nên ta tìm bội chung nhỏ nhất của 5, 7, 9.

BCNN(5, 7, 9) = 5 . 7 . 9 = 315

Þ 2a - 1 = 315

Þ 2a = 316

Þ a = 158

Vậy số cần tìm là 158.

Câu 3