Cho xy + yz + zx = 0 và xyz ≠ 0. Tính giá trị biểu thức: M=yzx2+xzy2+xyz2.

Ta có: xy + yz + xz = 0 Chia cả 2 vế của đẳng thức trên cho xyz ≠ 0, ta được: 1x+1y+1z=0 Nhận xét: Chú ý rằng nếu x + y + z = 0 (1) thì x3 + y3 + z3 = 3xyz (*) Thật vậy, từ (1) Þ z = -(x + y) Do đó, x3 + y3 + z3 = x3 + y3 - (x + y)3 = -3x2y - 3xy2 = -3xy(x + y) = 3xyz Vậy, đẳng thức (*) được chứng minh Áp dụng nhận xét trên, ta có: Nếu 1x+1y+1z=0 thì 1x3+1y3+1z3=3.1x.1y.1z=3xyz Do đó M = yzx2+xzy2+xyz2=xyzx3+xyzy3+xyzz3=xyz1x3+1y3+1z3 =xyz.3xyz=3 (x, y, z ≠ 0) Vậy M=yzx2+xzy2+xyz2=3.

Câu hỏi:

12/07/2024 2,114

Cho xy + yz + zx = 0 và xyz ≠ 0. Tính giá trị biểu thức:

$M = \frac{y z}{x^{2}} + \frac{x z}{y^{2}} + \frac{x y}{z^{2}}$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có: xy + yz + xz = 0

Chia cả 2 vế của đẳng thức trên cho xyz ≠ 0, ta được:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 0$

Nhận xét: Chú ý rằng nếu x + y + z = 0 (1) thì x³ + y³ + z³ = 3xyz (*)

Thật vậy, từ (1) Þ z = -(x + y)

Do đó, x³ + y³ + z³ = x³ + y³ - (x + y)³ = -3x²y - 3xy² = -3xy(x + y) = 3xyz

Vậy, đẳng thức (*) được chứng minh

Áp dụng nhận xét trên, ta có:

Nếu $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 0$ thì $\frac{1}{x^{3}} + \frac{1}{y^{3}} + \frac{1}{z^{3}} = 3. \frac{1}{x} . \frac{1}{y} . \frac{1}{z} = \frac{3}{x y z}$

Do đó M = $\frac{y z}{x^{2}} + \frac{x z}{y^{2}} + \frac{x y}{z^{2}} = \frac{x y z}{x^{3}} + \frac{x y z}{y^{3}} + \frac{x y z}{z^{3}} = x y z (\frac{1}{x^{3}} + \frac{1}{y^{3}} + \frac{1}{z^{3}})$

$= x y z . \frac{3}{x y z} = 3$ (x, y, z ≠ 0)

Vậy $M = \frac{y z}{x^{2}} + \frac{x z}{y^{2}} + \frac{x y}{z^{2}} = 3$ .

Nhà sách vietjack

Xem thêm kho sách »

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Một hình chữ nhật có chiều rộng 8 cm, chiều dài gấp 3 lần chiều rộng. Tính diện tích và chu vi hình đó.

Xem đáp án » 13/07/2024 7,002

Câu 2:

Đâu là cạnh kề cạnh đối cạnh huyền trên tam giác vuông

Xem đáp án » 13/07/2024 5,565

Câu 3:

Tìm số tự nhiên nhỏ nhất chia cho 5, 7, 9 có số dư lần lượt là 3, 4, 5.

Xem đáp án » 11/07/2024 5,497

Câu 4:

Trong hộp có ba loại bi là bi trắng, bi xanh và bi đỏ. Biết tổng số viên bi trong hộp nhiều hơn tổng số bi trắng và viên bi đỏ là 48 viên bi, số viên bi xanh nhiều hơn bi viên bi trắng 5 viên và ít hơn viên bi đỏ 12 viên. Tính tổng số viên bi trong hộp ?

Xem đáp án » 13/07/2024 4,581

Câu 5:

Một thửa ruộng hình chữ nhật có chu vi 96 m, chiều rộng ngắn hơn chiều dài 30 m. Tính diện tích của thửa ruộng ?

Xem đáp án » 13/07/2024 3,765

Câu 6:

Tìm số tự nhiên n thoả mãn 2.2² + 3.2³ + 4.2⁴ + ... + n.2ⁿ = 2ⁿ + 11

Xem đáp án » 12/07/2024 3,616

Câu 7:

Bố hơn con 30 tuổi, biết 5 năm nữa tổng số tuổi của hai bố con là 62 tuổi. Tính tuổi 2 bố con hiện nay.

Xem đáp án » 13/07/2024 3,543

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

Cho xy + yz + zx = 0 và xyz ≠ 0. Tính giá trị biểu thức: M=yzx2+xzy2+xyz2.

Bình luận

Một hình chữ nhật có chiều rộng 8 cm, chiều dài gấp 3 lần chiều rộng. Tính diện tích và chu vi hình đó.

Đâu là cạnh kề cạnh đối cạnh huyền trên tam giác vuông

Tìm số tự nhiên nhỏ nhất chia cho 5, 7, 9 có số dư lần lượt là 3, 4, 5.

Một thửa ruộng hình chữ nhật có chu vi 96 m, chiều rộng ngắn hơn chiều dài 30 m. Tính diện tích của thửa ruộng ?

Tìm số tự nhiên n thoả mãn 2.22 + 3.23 + 4.24 + ... + n.2n = 2n + 11

Bố hơn con 30 tuổi, biết 5 năm nữa tổng số tuổi của hai bố con là 62 tuổi. Tính tuổi 2 bố con hiện nay.

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho xy + yz + zx = 0 và xyz ≠ 0. Tính giá trị biểu thức:

$M = \frac{y z}{x^{2}} + \frac{x z}{y^{2}} + \frac{x y}{z^{2}}$ .

Tìm số tự nhiên n thoả mãn 2.2² + 3.2³ + 4.2⁴ + ... + n.2ⁿ = 2ⁿ + 11