Chứng minh rằng n⁷ – n chia hết cho 7, với mọi n là số nguyên.

Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Lấy điểm C thuộc đường tròn, với C không trùng A và B. Gọi I là trung điểm của AC. Vẽ tiếp tuyến của đường tròn tâm O tại tiếp điểm C cắt tia OI tại điểm D.

a) Chứng minh OI // BC.

b) Chứng minh DA là tiếp tuyến của đường tròn tâm O.

c) Vẽ CH ⊥ AB (H ∈ AB) và BK ⊥ CD (K ∈ CD). Chứng minh CK² = HA . HB.

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 8 cm, AC = 6 cm, trung tuyến AM. Kẻ MD vuông góc với AB và Me vuông góc với AC.

a) Tứ giác ADME là hình gì? Vì sao?

b) Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác ADME là hình vuông.

c) Tính độ dài AM?

d) Tính diện tích tam giác ABM?

Cho tam giác ABC có AB = AC. Gọi D là trung điểm của BC. Kẻ DE vuông góc với AB; DF vuông góc với AC. Chứng minh: 

a) ∆DEB = ∆DFC;

b) ∆AED = ∆AFD;

c) AD là tia phân giác của \(\widehat {BAC}\).