Lớp 10B có 45 học sinh. Trong kì thi học kì I có 20 em đạt loại giỏi môn Toán; 18 em đạt loại giỏi môn Tiếng Anh; 17 em đạt loại giỏi môn Ngữ văn; 5 em đạt loại giỏi cả ba môn học trên và 7 em không đạt loại giỏi môn nào trong ba môn học trên. Số học sinh chỉ đạt loại giỏi một trong ba môn học trên là:

Trong lớp 10C có 16 học sinh giỏi Toán, 15 học sinh giỏi Lí, 11 học sinh giỏi Hóa. Biết rằng có 9 học sinh vừa giỏi Toán và Lí, 6 học sinh vừa giỏi Lí và Hóa, 8 học sinh vừa giỏi Hóa và Toán, trong đó có 11 học sinh giỏi đúng 2 môn. Hỏi có bao nhiêu học sinh trong lớp:

a) Giỏi cả ba môn.

b) Giỏi đúng 1 môn.

Cho tam giác ABC. Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI và J là điểm trên BC kéo dài sao cho 5JB = 2JC. Gọi G là trọng tâm tam giác.

a) Biểu diễn \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \) theo hai vectơ \(\overrightarrow {AI} ,\overrightarrow {AJ} \) và biểu diễn \(\overrightarrow {AJ} \) qua \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \).

b) Biểu diễn \(\overrightarrow {AG} \) theo hai vectơ \(\overrightarrow {AI} ,\overrightarrow {AJ} \).

Cho tứ diện đều ABCD, cạnh a. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AC, BC. Gọi K là một điểm trên cạnh BD sao cho KB = 2KD.

a) Xác định thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (IJK). Chứng minh thiết diện là hình thang cân.

b) Tính diện tích thiết diện đó.

Cho tam giác ABC, lấy các điểm M, N, P sao cho \(\overrightarrow {MB} = 3\overrightarrow {MC} \); \(\overrightarrow {NA} + 3\overrightarrow {NC} = \vec 0\) và \(\overrightarrow {PA} + \overrightarrow {PB} = \vec 0\).

a) Tính \(\overrightarrow {PM} ,\,\,\overrightarrow {PN} \) theo \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \).

b) Chứng minh rằng: M, N, P thẳng hàng.