Hằng ngày, mực nước của một con kênh lên xuống theo thuỷ triều. Độ sâu h(m) của mực nước trong kênh tính theo thời gian t (giờ) trong một ngày (0 ≤ t < 24) cho bởi công thức \(h = 3\cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 1} \right) + 12\) (Nguồn: Đại số và Giải  tích 11 Nâng cao, NXBGD Việt Nam, 2021). Tìm t để độ sâu của mực nước là:

10,5 m.

Để độ sâu của mực nước là 10,5 m thì:

\(h = 3\cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 1} \right) + 12 = 10,5\)

\[ \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 1} \right) = - \frac{1}{2}\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{{\pi t}}{6} + 1 = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\\frac{{\pi t}}{6} + 1 = - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \,\,\,\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 4 - \frac{6}{\pi } + 12k\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\t = - 4 - \frac{6}{\pi } + 12k\,\,\,\left( 2 \right)\,\,\,\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\]

• Do 0 ≤ t < 24 nên từ (1) ta có: \(0 \le 4 - \frac{6}{\pi } + 12k < 24\)

                                            \( \Leftrightarrow - 4 + \frac{6}{\pi } \le 12k < 20 + \frac{6}{\pi }\)

                                           \( \Leftrightarrow - \frac{1}{3} + \frac{1}{{2\pi }} \le k < \frac{5}{3} + \frac{1}{{2\pi }}\)

Mà k ∈ ℤ nên k ∈ {0; 1}.

Với k = 0 thì \(t = 4 - \frac{6}{\pi } + 12.0 \approx 2,09\) (giờ);

Với k = 1 thì \(t = 4 - \frac{6}{\pi } + 12.1 \approx 14,09\) (giờ).

• Do 0 ≤ t < 24 nên từ (2) ta có: \(0 \le - 4 - \frac{6}{\pi } + 12k < 24\)

                                            \( \Leftrightarrow 4 + \frac{6}{\pi } \le 12k < 28 + \frac{6}{\pi }\)

                                           \( \Leftrightarrow \frac{1}{3} + \frac{1}{{2\pi }} \le k < \frac{7}{3} + \frac{1}{{2\pi }}\)

Mà k ∈ ℤ nên k ∈ {1; 2}.

Với k = 1 thì \(t = - 4 - \frac{6}{\pi } + 12.1 \approx 6,09\) (giờ);

Với k = 2 thì \(t = - 4 - \frac{6}{\pi } + 12.2 \approx 18,09\) (giờ).