Trong hình bên dưới, tìm các cặp hình có hình dạng giống nhau. Loại phép biến hình nào có thể biến hình này thành hình kia trong mỗi cặp?

⦁ Ta xét hình hai ngôi nhà:

Giả sử O là điểm cố định và A là một điểm trên hình ngôi nhà 1 (hình vẽ).

Lấy điểm A’ trên hình ngôi nhà 2 có vị trí tương ứng với điểm A trên hình ngôi nhà 1.

Khi đó ta có ba điểm O, A, A’ thẳng hàng và A, A’ nằm cùng phía đối với O.

Suy ra $\overrightarrow{O{A}^{\text{'}}}=k\overrightarrow{OA}$, với k > 0.

Do đó V(O, k)(A) = A’ và OA’ = k.OA.

Vì vậy $k=\frac{O{A}^{\text{'}}}{OA}$.

Chọn một điểm B trên hình ngôi nhà 1 sao cho B ≠ A.

Lấy điểm B’ sao cho $\overrightarrow{O{B}^{\text{'}}}=k\overrightarrow{OB}$.

Khi đó $V_{\left(O,\frac{O{A}^{\text{'}}}{OA}\right)}\left(B\right)=B^{\text{'}}$ và điểm B’ là một điểm trên hình ngôi nhà 2 có vị trí tương ứng với điểm B trên hình ngôi nhà 1.

Tương tự như vậy, với mỗi điểm M bất kì trên hình ngôi nhà 1, ta lấy điểm M’ sao cho $V_{\left(O,\frac{O{A}^{\text{'}}}{OA}\right)}\left(M\right)=M^{\text{'}}$ thì ta được tập hợp các điểm M’ tạo thành hình ngôi nhà 2.

Vì vậy $V_{\left(O,\frac{O{A}^{\text{'}}}{OA}\right)}$ biến hình ngôi nhà 1 thành hình ngôi nhà 2.

Vì vậy phép đồng dạng tỉ số $\frac{O{A}^{\text{'}}}{OA}$ biến hình ngôi nhà 1 thành hình ngôi nhà 2.

Do đó hình ngôi nhà 1 và hình ngôi nhà 2 đồng dạng với nhau.

Chứng minh tương tự cho hình hai chiếc smartphone, ta cũng được kết quả như trên.

Vậy ta có hình hai ngôi nhà và hình hai chiếc smartphone đồng dạng với nhau trong Hình 6.

Để tìm phép biến hình biến ∆ABC thành ∆A’B’C’, ta tìm phép biến hình biến ∆ABC thành ∆A1B1C1 và tìm phép biến hình biến ∆A1B1C1 thành ∆A’B’C’.

⦁ Để tìm phép biến hình biến ∆ABC thành ∆A1B1C1, ta tìm phép biến hình biến các điểm A, B, C theo thứ tự thành các điểm A1, B1, C1.

Ta thấy các đường thẳng AA1, BB1, CC1 đồng quy tại O.

Xét phép vị tự tâm O, tỉ số k biến các điểm A, B, C theo thứ tự thành các điểm A1, B1, C1.

Ta có V(O, k)(A) = A1.

Suy ra $\overrightarrow{O{A}_1}=k\overrightarrow{OA}$ và OA1 = |k|.OA.

Vì A, A1 nằm cùng phía đối với O nên k > 0.

Do đó $k=\frac{O{A}_1}{OA}$.

Tương tự ta cũng có $k=\frac{O{B}_1}{OB},k=\frac{O{C}_1}{OC}$

Do đó $k=\frac{O{A}_1}{OA}=\frac{O{B}_1}{OB}=\frac{O{C}_1}{OC}$

Vì vậy $V_{\left(O,\frac{O{A}_1}{OA}\right)}$ là phép biến hình biến ∆ABC thành ∆A1B1C1.

⦁ Để tìm phép biến hình biến ∆A1B1C1 thành ∆A’B’C’, ta tìm phép biến hình biến các điểm A1, B1, C1 theo thứ tự thành các điểm A’, B’, C’.

Ta thấy d là đường trung trực của đoạn A1A’.

Suy ra Đd(A1) = A’.

Chứng minh tương tự, ta được Đd(B1) = B’ và Đd(C1) = C’.

Vì vậy Đd là phép biến hình biến ∆A1B1C1 thành ∆A’B’C’.

Vậy hai phép biến hình biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’ là $V_{\left(O,\frac{O{A}_1}{OA}\right)}$ biến ∆ABC thành ∆A1B1C1 và Đd biến ∆A1B1C1 thành ∆A’B’C’.