Trong hình bên dưới, tìm các cặp hình có hình dạng giống nhau. Loại phép biến hình nào có thể biến hình này thành hình kia trong mỗi cặp?

⦁ Ta xét hình hai ngôi nhà:

Giả sử O là điểm cố định và A là một điểm trên hình ngôi nhà 1 (hình vẽ).

Lấy điểm A’ trên hình ngôi nhà 2 có vị trí tương ứng với điểm A trên hình ngôi nhà 1.

Khi đó ta có ba điểm O, A, A’ thẳng hàng và A, A’ nằm cùng phía đối với O.

Suy ra $\overrightarrow{O{A}^{\text{'}}}=k\overrightarrow{OA}$, với k > 0.

Do đó V(O, k)(A) = A’ và OA’ = k.OA.

Vì vậy $k=\frac{O{A}^{\text{'}}}{OA}$.

Chọn một điểm B trên hình ngôi nhà 1 sao cho B ≠ A.

Lấy điểm B’ sao cho $\overrightarrow{O{B}^{\text{'}}}=k\overrightarrow{OB}$.

Khi đó $V_{\left(O,\frac{O{A}^{\text{'}}}{OA}\right)}\left(B\right)=B^{\text{'}}$ và điểm B’ là một điểm trên hình ngôi nhà 2 có vị trí tương ứng với điểm B trên hình ngôi nhà 1.

Tương tự như vậy, với mỗi điểm M bất kì trên hình ngôi nhà 1, ta lấy điểm M’ sao cho $V_{\left(O,\frac{O{A}^{\text{'}}}{OA}\right)}\left(M\right)=M^{\text{'}}$ thì ta được tập hợp các điểm M’ tạo thành hình ngôi nhà 2.

Vì vậy $V_{\left(O,\frac{O{A}^{\text{'}}}{OA}\right)}$ biến hình ngôi nhà 1 thành hình ngôi nhà 2.

Vì vậy phép đồng dạng tỉ số $\frac{O{A}^{\text{'}}}{OA}$ biến hình ngôi nhà 1 thành hình ngôi nhà 2.

Do đó hình ngôi nhà 1 và hình ngôi nhà 2 đồng dạng với nhau.

Chứng minh tương tự cho hình hai chiếc smartphone, ta cũng được kết quả như trên.

Vậy ta có hình hai ngôi nhà và hình hai chiếc smartphone đồng dạng với nhau trong Hình 6.

a) Do phép quay là phép dời hình nên ảnh A2B2C2D2 của hình vuông A1B1C1D1 cũng là hình vuông có kích thước bằng hình vuông A1B1C1D1.

Theo đề, ta có A1B1C1D1 là ảnh của hình vuông ABCD qua phép tịnh tiến theo $\overrightarrow{O{O}^{\text{'}}}$.

Mà O là tâm của hình vuông ABCD.

Nên ta có O’ là tâm của hình vuông A1B1C1D1.

Mà A2B2C2D2 là ảnh của hình vuông A1B1C1D1 qua Q(O’, φ) (giả thiết).

Suy ra O’ cũng là tâm của hình vuông A2B2C2D2.

Do đó O’A2 = O’B2 = O’C2 = O’D2.

Để tìm ảnh A2B2C2D2 của hình vuông A1B1C1D1 qua Q(O’, φ), ta tìm vị trí các điểm A2, B2, C2, D2 theo thứ tự là ảnh của các điểm A1, B1, C1, D1 qua Q(O’, φ).

Ta có A2 = Q(O’, φ)(A1).

Suy ra O’A2 = O’A1 và (O’A1, O’A2) = φ.

Mà φ = (O’A1, O’A’) (giả thiết).

Do đó A2 nằm trên đường thẳng O’A’.

Vì vậy A2 là một điểm nằm trên đường thẳng O’A’ thỏa mãn O’A2 = O’A1.

Ta có B2 = Q(O’, φ)(B1).

Suy ra O’B2 = O’B1 và (O’B1, O’B2) = φ.

Ta có O’ là tâm của hình vuông A2B2C2D2 và hình vuông A’B’C’D’.

Khi đó $\widehat{A_1{O}^{\text{'}}{B}_2}=90°-\widehat{A_2{O}^{\text{'}}{A}_1}$ và $\widehat{A_1{O}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}=90°-\widehat{A^{\text{'}}{O}^{\text{'}}{A}_1}$.

Suy ra $\widehat{A_1{O}^{\text{'}}{B}_2}=\widehat{A_1{O}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}$.

Do đó B2 nằm trên đường thẳng O’B’.

Vì vậy B2 là một điểm nằm trên đường thẳng O’B’ thỏa mãn O’B2 = O’B1.

Chứng minh tương tự, ta được:

⦁ C2 nằm trên đường thẳng O’C’ thỏa mãn O’C2 = O’C1;

⦁ D2 nằm trên đường thẳng O’D’ thỏa mãn O’D2 = O’D1.

Vậy ảnh của hình vuông A1B1C1D1 qua Q(O’, φ) là hình vuông A2B2C2D2 thỏa mãn A2, B2, C2, D2 lần lượt nằm trên O’A’, O’B’, O’C’, O’D’ và O’B2 = O’C2 = O’D2 = O’A2 = O’A1.

b) Để tìm ảnh của hình vuông A2B2C2D2 qua V(O’, k), ta tìm ảnh của các điểm A2, B2, C2, D2 qua V(O’, k).

Theo đề, ta có $\overrightarrow{O^{\text{'}}{A}^{\text{'}}}=k\overrightarrow{O^{\text{'}}{A}_2}$.

Suy ra V(O’, k)(A2) = A’ và O’A’ = |k|.O’A2.

Ta có O’A2 = O’B2 (chứng minh trên) và O’A’ = O’B’ (O’ là tâm của hình vuông A’B’C’D’).

Suy ra $\frac{O^{\text{'}}{B}_2}{O^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}=\frac{O^{\text{'}}{A}_2}{O^{\text{'}}{A}^{\text{'}}}=\frac{1}{\left|k\right|}$.

Do đó O’B’ = |k|.O’B2.

Mà $\overrightarrow{O^{\text{'}}{B}^{\text{'}}},\overrightarrow{O^{\text{'}}{B}_2}$ cùng phương (B2 là một điểm nằm trên đường thẳng O’B’).

Suy ra $\overrightarrow{O^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}=k\overrightarrow{O^{\text{'}}{B}_2}$.

Do đó V(O’, k)(B2) = B’.

Chứng minh tương tự, ta được V(O’, k)(C2) = C’ và V(O’, k)(D2) = D’.

Vậy ảnh của hình vuông A2B2C2D2 qua V(O’, k) là hình vuông A’B’C’D’.

c) Từ kết quả của câu a) và b), ta thấy phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O’, góc quay φ = (O’A1, O’A’) và phép vị tự tâm O, tỉ số k biến hình vuông ABCD thành hình vuông A’B’C’D’.

Do đó hai hình vuông ABCD và A’B’C’D’ đồng dạng với nhau.

Vậy hai hình vuông tùy ý luôn đồng dạng với nhau.